Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

#81

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Άσκηση 032

Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ με πλευρά $\displaystyle{a}$ , και φέρνουμε την διαγώνιο $\displaystyle{AC}$ . Aπό τα σημεία $\displaystyle{A , C}$ , φέρνουμε δύο ημιευθείες στο εσωτερικό του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , οι οποίες σχηματίζουν γωνίες $\displaystyle{15^{o} , 30^{o}}$ με την ως άνω διαγώνιο αντιστοίχως και τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ .
Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{EA^2 -E\Gamma ^2 =a(\sqrt{2}EA -2 E\Gamma)}$ , οπου $\displaystyle{E}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{AC}$ και $\displaystyle{\Gamma D}$ .

Το συνημμένο ΣΧΗΜΑ Γ.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: Τετράγωνο_032.png (24.82 KiB) Προβλήθηκε 2776 φορές

Επειδή $\widehat {{\rm A}\Gamma C} = {180^0} - {15^0} - {30^0} = {135^0}$ , ο κύκλος με κέντρο το

και

ακτίνα το μήκος $\alpha$ της πλευράς του τετραγώνου θα διέρχεται από το $\Gamma$ και άρα το

τρίγωνο ${\rm A}\Gamma D$ είναι ισόπλευρο μήκους πλευράς κι εδώ

.

Έξω από το τετράγωνο με κορυφή το

σχηματίζω γωνία $\widehat {DCP} = {15^0}$ με το

πάνω στην προέκταση της

. Μετά από τα παραπάνω εύκολα προκύπτουν:

1. Το $C{\rm E}\Gamma$ ισοσκελές με γωνία κορυφής στο

τις ${30^0}$ .

2. Αν ${\rm K}$ το μέσο του

το τρίγωνο ${\rm K}{\rm E}C$ ισόπλευρο , έστω μήκους πλευράς $\rho$ .

3. $PD = {\rm E}\Gamma$ και αν $PD = \beta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\rm E}\Gamma = {\beta _1}$ θα είναι $\beta = {\beta _1}$ .

Ξεκινάμε τώρα τους υπολογισμούς : Από το θεώρημα συνημίτονου στο τρίγωνο

${\rm A}{\rm E}\Gamma$ θα έχουμε: ${\rm A}{{\rm E}^2} = {\rm E}{\Gamma ^2} + {\rm A}{\Gamma ^2} - 2{\rm E}\Gamma \cdot {\rm A}\Gamma \cdot \sigma \upsilon \nu {60^0}$ . Συνεπώς :

${\rm A}{{\rm E}^2} - {\rm E}{\Gamma ^2} = {\alpha ^2} - \alpha \cdot {\rm E}\Gamma \,\,(1)$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι :

${\alpha ^2} - \alpha \cdot {\rm E}\Gamma \,\, = \alpha (\sqrt 2 {\rm E}{\rm A} - 2{\rm E}\Gamma ) \Leftrightarrow \alpha - \beta = \sqrt 2 {\rm E}{\rm A} - 2\beta$ ή

Ισοδύναμα: $\alpha + \beta = \sqrt 2 {\rm A}{\rm E}\,\,(2)$ . Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της

(2)

με $\alpha$ και έχουμε ισοδύναμα :

${\alpha ^2} + \alpha \beta = \sqrt 2 \alpha \cdot {\rm A}{\rm E} \Leftrightarrow {\alpha ^2} + \alpha \beta = {\rm A}C \cdot AE\,\,(3)$ . Όμως το

Τετράπλευρο $PD{\rm E}C$ είναι εγγράψιμο γιατί η εξωτερική του γωνία στο ${\rm E}$ είναι

${75^0} = \widehat P$ και άρα η (3)

ισοδυναμεί με

${\alpha ^2} + \alpha \beta = {\rm A}D \cdot {\rm A}P\,\, \Leftrightarrow {\alpha ^2} + \alpha \beta = \alpha (\alpha + \beta )$ που είναι αληθές και το

ζητούμενο το αποδείξαμε .

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #82

Άσκηση 034

: ΚΥΚΛΟΤΕΤΡΆΓΩΝΟ.png (7.21 KiB) Προβλήθηκε 2769 φορές

Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$ , είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο $\Gamma \overset{\frown}{B\Delta}$ .

Κατασκευάστε ημικύκλιο με διάμετρο επί της

και εφαπτόμενο του ημικυκλίου σε

σημείο $\Sigma$ και δείξτε ότι το $A\Sigma$ προεκτεινόμενο , θα διέλθει από το μέσο

της $B\Gamma$

KARKAR · #83

Άσκηση 035

: Τετραγωνομετρία.png (7.11 KiB) Προβλήθηκε 2753 φορές

Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$ , είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο $\Gamma \overset{\frown}{B\Delta}$ .

Για ποιά θέση σημείου $\Sigma$ επί της

, το τεταρτοκύκλιο διχοτομεί το τμήμα $\Delta\Sigma$ ?

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\widehat{\Delta\Sigma A}$

#84

Άσκηση 036

: 02-06-2013 Γεωμετρία.jpg (10.26 KiB) Προβλήθηκε 2714 φορές

Έστω τετράγωνο $\displaystyle{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς $\displaystyle\alpha$ . Αν ο κύκλος $\displaystyle\left( {{\rm O},\;\rho } \right)$ διέρχεται από τα $\displaystyle{\rm A},\;\Delta$ και εφάπτεται της $\displaystyle{\rm B}\Gamma$ στο $\displaystyle{\rm E}$ , να βρείτε το λόγο της ακτίνας του κύκλου προς την πλευρά του τετραγώνου.

ΣΧΟΛΙΟ: Από τη συλλογή του Γιάννη Απλακίδη: Είναι άραγε νεκρός ο Ευκλείδης, 2007, εκδ. Σαββάλα.

Ο τίτλος είναι αναφορά σε άρθρο στη Μαθηματική Επιθεώρηση τ. 55, 2001 του Γιώργου - Σωκράτη Δ. Σμυρλή.

Το εξαιρετικά ενδιαφέρον και διαρκώς επίκαιρο άρθρο μπορείτε να το βρείτε ΕΔΩ

#85

KARKAR έγραψε:Άσκηση 034
Το συνημμένο ΚΥΚΛΟΤΕΤΡΆΓΩΝΟ.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$ , είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο $\Gamma \overset{\frown}{B\Delta}$ .

Κατασκευάστε ημικύκλιο με διάμετρο επί της και εφαπτόμενο του ημικυκλίου σε

σημείο $\Sigma$ και δείξτε ότι το $A\Sigma$ προεκτεινόμενο , θα διέλθει από το μέσο της $B\Gamma$

: τετράγωνα 034.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 2694 φορές

Έστω $\rho$ η ακτίνα του ζητούμενου ημικυκλίου, κέντρου ${\rm K}$ και $4\alpha$ η πλευρά

του τετραγώνου . Από το τρίγωνο ${\rm B}{\rm K}\Gamma$ και το Π. Θ. θα έχουμε :

${\rm K}{\Gamma ^2} = {\rm K}{{\rm B}^2} + {\rm B}{\Gamma ^2} \Rightarrow {(\alpha + \rho )^2} = {(\alpha - \rho )^2} + {\alpha ^2} \Rightarrow \boxed{\rho = \alpha }$ .

Αν η παράλληλη από το ${\rm M}$ ( που ακόμα δεν ξέρουμε αν είναι μέσο του ${\rm B}\Gamma$ )

κόψει την ${\rm K}\Gamma$ στο ${\rm N}$ και θέσουμε ${\rm M}{\rm N} = x$ . θα είναι προφανώς τα τρίγωνα

${\rm N}\Sigma {\rm M}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm K}\Sigma {\rm A}$ όμοια , οπότε και το ${\rm N}\Sigma {\rm M}$ ισοσκελές .

Όμως και τα τρίγωνα $\Gamma {\rm M}{\rm N}\,\,,\,\,\Gamma {\rm B}{\rm K}$ είναι όμοια και θα ισχύει :

$\boxed{\frac{{{\rm N}{\rm M}}}{{{\rm K}{\rm B}}} = \frac{{\Gamma {\rm N}}}{{\Gamma {\rm K}}} \Rightarrow \frac{x}{{3a}} = \frac{{4a - x}}{{5a}} \Rightarrow 2x = 3a}$ δηλαδή

${\rm K}{\rm N} = a + 2a = 3a = {\rm N}\Gamma$ δηλαδή το ${\rm N}$ μέσο του ${\rm K}{\rm B}$ και αφού

${\rm N}{\rm M}//{\rm K}{\rm B}$ και το ${\rm M}$ μέσο του ${\rm B}\Gamma$ .

Φιλικά Νίκος

#86

Μια λύση για την Άσκηση 033

: 02-06-2013 Γεωμετρία b.jpg (14.46 KiB) Προβλήθηκε 2682 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle{\rm H}\Gamma {\rm O}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές (αφού $\displaystyle\widehat {{\rm A}\Gamma \Delta } = 45^\circ$ ).

Είναι $\displaystyle{\rm O}{\rm H} = b$ (ακτίνα κύκλου), οπότε $\displaystyle\Gamma {\rm O} = b\sqrt 2 ,\;OK = b \Rightarrow AK = a\sqrt 2 - b\sqrt 2 - b$

Τα $\displaystyle\Gamma {\rm K}{\rm H},\;{\rm A}{\rm E}{\rm K}$ είναι όμοια (έχουν δύο πλευρές συνευθειακές και τις τρίτες παράλληλες), οπότε έχουν:

$\displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{\Gamma {\rm H}}} = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{K\Gamma }} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm E} = b \cdot \frac{{a\sqrt 2 - b\sqrt 2 - b}}{{b\sqrt 2 + b}} = \frac{{a\sqrt 2 - b\sqrt 2 - b}}{{\sqrt 2 + 1}}$

$\displaystyle\left( {AE{\rm K}\Theta } \right) = 2\left( {{\rm A}{\rm E}{\rm K}} \right)$ , λόγω συμμετρίας, οπότε

$\displaystyle\left( {AE{\rm K}\Theta } \right) = 2\frac{{{\rm A}{\rm E} \cdot {\rm A}{\rm K}}}{2} \cdot \eta \mu 45^\circ = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 - b\sqrt 2 - b} \right)}^2}}}{{\sqrt 2 + 1}} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

#87

AΣΚΗΣΗ 037

Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ και θεωρούμε δύο σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{H}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{DC}$ και $\displaystyle{CB}$ . Έστω
$\displaystyle{Z , I}$ , τα σημεία τομής των $\displaystyle{AE , AH}$ με την $\displaystyle{DB}$ αντιστοίχως, και $\displaystyle{K}$ το μέσον του $\displaystyle{EH}$ .
Αν $\displaystyle{KZ =KI}$ και αν οι αποστάσεις του $\displaystyle{K}$ από τις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{AD}$ είναι άνισες, να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο $\displaystyle{AHZ}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

: ΣΧΗΜΑ Α2.png (8.87 KiB) Προβλήθηκε 2656 φορές

#88

KARKAR έγραψε:Άσκηση 035
Το συνημμένο Τετραγωνομετρία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$ , είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο $\Gamma \overset{\frown}{B\Delta}$ .

Για ποιά θέση σημείου $\Sigma$ επί της , το τεταρτοκύκλιο διχοτομεί το τμήμα $\Delta\Sigma$ ?

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\widehat{\Delta\Sigma A}$

: Tetrag_035.png (26.42 KiB) Προβλήθηκε 2650 φορές

Γράφω μέσα στο τετράγωνο και το ίσο τεταρτοκύκλιο του κύκλου $({\rm B},\alpha )$ . με

$\alpha =$ μήκος πλευράς τετραγώνου .

Η κοινή χορδή των δύο ίσων κύκλων : $(\Gamma ,\alpha )\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({\rm B},\alpha )$ είναι μεσοκάθετος

στο ${\rm B}\Gamma$ σε σημείο του ${\rm N}$ , τα δε τεταρτοκύκλια τέμνονται στο ${\rm M}$ . Τώρα το $\Sigma$

προκύπτει ως η τομή του $\Delta {\rm M}$ με το ${\rm A}{\rm B}$ και τούτο διότι στο τραπέζιο ${\rm B}\Sigma \Delta \Gamma$ η

${\rm M}{\rm N}$ είναι διάμεσος. Μετά την πιο πάνω κατασκευή εύκολα προκύπτει ότι

$\boxed{\widehat {{\rm A}\Sigma \Delta } = {{75}^0}}$ .

Φιλικά Νίκος

Perantonis · #89

KARKAR έγραψε:Άσκηση 034
Το συνημμένο ΚΥΚΛΟΤΕΤΡΆΓΩΝΟ.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου $AB\Gamma\Delta$ , είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο $\Gamma \overset{\frown}{B\Delta}$ .

Κατασκευάστε ημικύκλιο με διάμετρο επί της και εφαπτόμενο του ημικυκλίου σε

σημείο $\Sigma$ και δείξτε ότι το $A\Sigma$ προεκτεινόμενο , θα διέλθει από το μέσο της $B\Gamma$

: 034.png (22.48 KiB) Προβλήθηκε 2646 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου.

Είναι ${\rm O}{\Gamma ^2} = {\rm O}{{\rm B}^2} + \Gamma {{\rm B}^2} \Rightarrow {(R + \rho )^2} = {(R - \rho )^2} + {R^2} \Rightarrow R = 4\rho \Rightarrow \rho = \frac{R}{4}$
Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει διάμετρο το μισό της πλευράς του τετραγώνου.

Έστω

το σημείο τομής της

και της $\Delta \Gamma$ . Είναι $\hat \omega = \hat \varphi$ και $\hat \theta = \hat x$ όμως $\hat \varphi = \hat \omega$ Οπότε $\hat x = \hat \varphi$ .

Άρα το τρίγωνο $\Sigma \Gamma {\rm P}$ είναι ισοσκελές και $\Gamma {\rm P} = \Gamma \Sigma = R$ .

Είναι τα τρίγωνα $\Gamma {\rm M}{\rm P}$ , ${\rm A}{\rm B}{\rm M}$ ίσα Άρα $\Gamma {\rm M} = {\rm M}{\rm B}$

Περαντώνης Γιάννης

#90

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 018
Το συνημμένο sq018.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο παραπάνω σχήμα τα ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ,\,{\rm A}{\rm E}{\rm Z}{\rm K}$ είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι $\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) + \left( {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}{\rm K}} \right) = \Delta {{\rm E}^2}$ .

Συμπηρώνουμε με την επόμενη

Άσκηση 038

ΟΙ περιγγεγραμμένοι κύκλοι των δύο τετραγώνων είναι ορθογώνιοι και οι ευθείες ED, BK

τέμνονται κάθετα στο δεύτερο κοινό σημείο των ίδιων κύκλων.

#91

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Άσκηση 032

Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ με πλευρά $\displaystyle{a}$ , και φέρνουμε την διαγώνιο $\displaystyle{AC}$ . Aπό τα σημεία $\displaystyle{A , C}$ , φέρνουμε δύο ημιευθείες στο εσωτερικό του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , οι οποίες σχηματίζουν γωνίες $\displaystyle{15^{o} , 30^{o}}$ με την ως άνω διαγώνιο αντιστοίχως και τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ .
Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{EA^2 -E\Gamma ^2 =a(\sqrt{2}EA -2 E\Gamma)}$ , οπου $\displaystyle{E}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{AC}$ και $\displaystyle{\Gamma D}$ .

Μετά από τις΄ωραίες λύσεις του thanasis_a και του φίλου μας Νίκου από Κρήτη (Doloros), θα δώσω και μια ακόμα λύση με το πλεονέκτημα που έχω ως κατασκευαστής της άσκησης :

: SXHMA 3.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 2571 φορές

Με κέντρο το $\displaystyle{D}$ και ακτίνα $\displaystyle{DC}$ , γράφω κύκλο, ο οποίος τέμνει τις προεκτάσεις των $\displaystyle{CD}$ και $\displaystyle{\Gamma D}$ , στα σημεία $\displaystyle{L}$ και $\displaystyle{K}$ αντιστοίχως. Το τρίγωνο $\displaystyle{LAC}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και άρα :
$\displaystyle{\widehat{LA\Gamma}+\widehat{LC\Gamma}=105^{o}+75^{o}=180^{o}}$ . Άρα ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα σημεία
$\displaystyle{C, L, A}$ , θα περνάει και από το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ . Άρα θα έχουμε:
$\displaystyle{EA.EC=E\Gamma .EK\Rightarrow EA.(AC-EA)=E\Gamma .(K\Gamma -E\Gamma )}$ , ΣΧΕΣΗ (1)

Όμως είναι $\displaystyle{AC=a\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{K\Gamma =2a}$ . Άρα η σχέση (1) γράφεται:

$\displaystyle{EA.(a\sqrt{2}-EA)=E\Gamma .(2a-E\Gamma )}$ , από όπου προκύπτει: $\displaystyle{EA^2 -E\Gamma ^2 =a(\sqrt{2}EA -2 E\Gamma )}$

Γιώργος Μήτσιος · #92

Για την Άσκηση 036

Γεια σας .

Στο σχήμα έχουμε $\hat{A}=90^{0}$ οπότε $\Delta H$ διάμετρος ενώ $E\Theta \parallel AB$ (κάθετες στην $B\Gamma$ ) άρα και $\Theta$ μέσον της $A\Delta$

Στο ορθ. τρίγωνο $O\Theta \Delta$ βρήσκουμε $O\Theta =\alpha -\rho ...\Theta \Delta = \frac{\alpha }{2}$ ενώ είναι $O\Delta =\rho$ . Με το Πυθαγόρειο παίρνουμε $\rho ^{2} =\left(\frac{\alpha }{2} \right)^{2}+\left(\alpha -\rho \right)^{2} \Leftrightarrow ...\frac{\rho }{\alpha }=\frac{5}{8}$

Σχόλιο : Αν θέσουμε $\alpha =8$ τότε στο τρίγωνο $O\Theta \Delta$ προβάλλει η πλέον γνωστή <<Πυθαγόρειος τριάς >>

Φιλικά Γιώργος.

: sq-36.PNG (6.31 KiB) Προβλήθηκε 2561 φορές

#93

ΑΣΚΗΣΗ 39
Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ και θεωρούμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{E}$ πάνω στην πλευρά $\displaystyle{CD}$ . Ένα σημείο $\displaystyle{H}$ επί της
πλευράς $\displaystyle{BC}$ , είναι τέτοιο, ώστε να ίσχύει $\displaystyle{EH=ED+HB}$ . Αν η $\displaystyle{AE}$ τέμνει την διαγώνιο $\displaystyle{BD}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$ ,
να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{ABHZ}$ είναι εγγράψιμο.

: ΣΧΗΜΑ 4.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 2547 φορές

Ιστοσελίδα · #94

Άσκηση 040

: sq040.jpg (23.38 KiB) Προβλήθηκε 2520 φορές

Στο εσωτερικό τετραγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς $\alpha$ , σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους $\Gamma \Delta ,\Delta {\rm A}$ και έστω ${\rm E}$ το σημείο τομής τους. Αν είναι $\Delta {\rm E} = x$ , να δείξετε ότι:

1) $\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = 2{x^2}$ .

2) ${{\rm E}_{\gamma \kappa \rho \iota }} = \displaystyle\frac{{{\alpha ^2}}}{4}$ .

#95

Άσκηση 041

Το τετράγωνο έχει πλευρά $\displaystyle{\,\,\,\alpha \,\,}$ . Να δείξετε ότι το εμβαδόν της μπλέ περιοχής είναι ίσο με το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής .

PanosG · #96

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 040
Το συνημμένο sq040.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό τετραγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς $\alpha$ , σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους $\Gamma \Delta ,\Delta {\rm A}$ και έστω ${\rm E}$ το σημείο τομής τους. Αν είναι $\Delta {\rm E} = x$ , να δείξετε ότι:

1) $\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = 2{x^2}$ .

2) ${{\rm E}_{\gamma \kappa \rho \iota }} = \displaystyle\frac{{{\alpha ^2}}}{4}$ .

1)
Είναι $\displaystyle{\angle E=90^o}$ αφου βαίνει σε ημικύκλιο. Άρα το τρίγωνο $\displaystyle{AE\Delta}$ είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{E}$ και ισοσκελες.
Απο Π.Θ. βρίσκουμε ότι $\displaystyle{a^2=2x^2}$ δηλαδή $\displaystyle{(AB\Gamma\Delta)=2x^2}$
2)
Έστω $\displaystyle{Z}$ το μέσο του $\displaystyle{A\Delta}$ τότε το $\displaystyle{EZ}$ είναι διάμεσος άρα και ύψος του τριγώνου $\displaystyle{AE\Delta}$ .
Οπότε το εμβαδό του τεταρτοκυκλίου $\left (Z,\frac{a}{2}\right )$ είναι: $\displaystyle{\frac{\pi a^2}{16}}$

Το εμβαδό του τριγώνου $\displaystyle{\Delta EZ}$ είναι $\displaystyle{(\Delta EZ)=\frac{a^2}{8}}$

Άρα το εμβαδό των κυκλικών τμημάτων $\displaystyle{\varepsilon_1=\varepsilon_2=\frac{\pi a^2}{16}-\frac{a^2}{8}$

Οπότε το εμβαδό του γκρι σχήματος είναι το εμβαδό του ημικυκλιου με ακτίνα $\displaystyle{\frac{a}{2}}$ μείον τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων $\displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$

$\displaystyle{E=\frac{\pi a^2}{8}-2\varepsilon_1=\frac{\pi a^2}{8}-2\cdot \frac{\pi a^2}{16} +2\cdot \frac{a^2}{8}=\frac{a^2}{4}}$

#97

exdx έγραψε:Άσκηση 041

Το τετράγωνο έχει πλευρά $\displaystyle{\,\,\,\alpha \,\,}$ . Να δείξετε ότι το εμβαδόν της μπλέ περιοχής είναι ίσο με το εμβαδόν της πράσινης περιοχής .

πράσινης;

#98

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 040
Το συνημμένο sq040.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό τετραγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς $\alpha$ , σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους $\Gamma \Delta ,\Delta {\rm A}$ και έστω ${\rm E}$ το σημείο τομής τους. Αν είναι $\Delta {\rm E} = x$ , να δείξετε ότι:

1) $\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = 2{x^2}$ .

2) ${{\rm E}_{\gamma \kappa \rho \iota }} = \displaystyle\frac{{{\alpha ^2}}}{4}$ .

: Τετράγωνα 040.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 2439 φορές

1. Από το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm E}{\rm A}\Delta$ έχουμε: ${\rm A}{\Delta ^2} = {\rm E}{{\rm A}^2} + {\rm E}{\Delta ^2} \Rightarrow {\alpha ^2} = 2{x^2} \Rightarrow ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 2{x^2}$ .

2. Το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει αν από το ημικύκλιο διαμέτρου $\Delta \Gamma = \alpha$ κάνω αφαίρεση του διπλάσιου του εμβαδού ${{\rm E}_2}$ δηλαδή ως αποτέλεσμα έχω το εμβαδόν του ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου $({\rm E}\Delta \Gamma ) = \displaystyle\frac{1}{2}{x^2} = \displaystyle\frac{{2{x^2}}}{4} = \displaystyle\frac{{{a^2}}}{4}$ .

Νίκος.

Ιστοσελίδα · #99

Άσκηση 038

Αν O , I

είναι τα κέντρα των δύο τετραγώνων, τότε $O\widehat{A}I=45^\circ+45^\circ=90^\circ .$

Άρα οι δύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $EA\varDelta , KAB$ είναι ίσα γιατί έχουν EA=KA

και $A\varDelta=AB .$

Άρα $E\widehat{\varDelta}A=K\widehat{B}A .$

Είναι $K\widehat{B}A +\varDelta\widehat{E}A= E\widehat{\varDelta}A+\varDelta\widehat{E}A=90^\circ .$

Επομένως, οι $\varDelta E , BK$ τέμνονται κάθετα στο σημείο P .

Τα σημεία

είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου κέντρου

ενώ τα σημεία $\varDelta , B$ είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου κέντρου

και $E\widehat{P}K=\varDelta\widehat{P}B=90^\circ .$

Άρα το σημείο

ανήκει στους δύο κύκλους.

apotin · #100

exdx έγραψε:Άσκηση 041

Το τετράγωνο έχει πλευρά $\displaystyle{\,\,\,\alpha \,\,}$ . Να δείξετε ότι το εμβαδόν της μπλέ περιοχής είναι ίσο με το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής .

Έστω $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου και $\displaystyle{\rho = \frac{1}{2}\alpha }$ η ακτίνα του.

Έστω $\displaystyle{{{\rm E}_{{\rm K}{\rm T}}}}$ το εμβαδόν του κυκλικού τομέα με κέντρο το $\displaystyle{\Delta }$ και τόξο $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$

Έστω $\displaystyle{{{\rm E}_1}}$ το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής και $\displaystyle{{{\rm E}_2}}$ το εμβαδόν της μπλε περιοχής

Τότε $\displaystyle{{\rm E} = \pi {\rho ^2} = \frac{1}{4}\pi {\alpha ^2}}$ και

$\displaystyle{{{\rm E}_{{\rm K}{\rm T}}} = \frac{1}{4}\pi {\alpha ^2} = {\rm E}}$

οπότε

$\displaystyle{{{\rm E}_{{\rm K}{\rm T}}} = {{\rm E}_1} + {\rm E} - {{\rm E}_2} \Rightarrow {{\rm E}_1} = {{\rm E}_2}}$

Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η

Μέλη σε σύνδεση