Τρεις εφαπτόμενες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Η πρώτη σχέση με είχε απασχολήσει παλαιότερα. Όλες οι λύσεις που έχω δει μέχρι τώρα μάλλον είναι εκτός του πνεύματος της άσκησης, της οποίας άσκησης, ως καρδιά, θεωρώ τη σχέση

$\displaystyle{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1}$ ,

που συνδέει τους λόγους ομοιότητας των μικρών τριγώνων ως προς το αρχικό τρίγωνο. Επομένως ανάλογες σχέσεις, όπως η πρώτη, ισχύει για όλα τα ομόλογα στοιχεία των τριγώνων αυτών .π.χ.: $\displaystyle{R_1+R_2+R_3=R}$ κ.λπ.

Για τη δεύτερη σχέση έχουμε: $\displaystyle{\lambda _1=\frac{\upsilon _a-2r}{\upsilon _a}=1-\frac{2r}{\upsilon _a}}$ και ομοίως γαι τα $\lambda_2, \lambda_3$ . Τότε

$\displaystyle{EE_1E_2E_3=(\lambda _1\lambda _2\lambda _3)^2E^4=\left(1-\frac{2r}{\upsilon _a} \right)^2\left(1-\frac{2r}{\upsilon _b} \right)^2\left(1-\frac{2r}{\upsilon _c} \right)^2\tau ^4r^4}$

$\displaystyle{=\left(1-2r\left(\frac{1}{\upsilon_a}+\frac{1}{\upsilon_b}+\frac{1}{\upsilon_c} \right) +4r^2\frac{\upsilon _a+\upsilon _b+\upsilon _c}{\upsilon _a\upsilon _b\upsilon _c}-8r^3\frac{1}{\upsilon _a\upsilon _b\upsilon _c}\right)^2\tau ^4r^4}$

$\displaystyle{=\left(1-2r\frac{1}{r}+4r^2\frac{\tau ^2+r^2+4Rr}{2R\frac{2\tau ^2r^2}{R}}-8r^3\frac{R}{2\tau ^2r^2} \right)^2\tau ^4r^4}=r^8$ ο.ε.δ.

ΤΥΠΟΙ: $\displaystyle{\frac{1}{\upsilon_a}+\frac{1}{\upsilon_b}+\frac{1}{\upsilon_c}=\frac{1}{r}}$ , $\displaystyle{\upsilon _a+\upsilon _b+\upsilon _c=\frac{\tau ^2+r^2+4Rr}{2{R}}}$ , $\displaystyle{\upsilon _a \upsilon _b \upsilon _c=\frac{2\tau ^2r^2}{R}$

Τρεις εφαπτόμενες

Τρεις εφαπτόμενες

Re: Τρεις εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση