Εκ συστήματος

KARKAR · #1

$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+z &=1 & \\ & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1 & \\ & & \\ 2x-3y+4z& =1 & \\ & & \\ \end{matrix}\right.$

Fotis34 · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2026 5:44 pm
$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+z &=1 & \\ & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1 & \\ & & \\ 2x-3y+4z& =1 & \\ & & \\ \end{matrix}\right.$

Από την πρώτη εξίσωση:

$\displaystyle x=1-y-z.$

Αντικαθιστούμε στην τρίτη:

$\displaystyle 2(1-y-z)-3y+4z=1$

$\displaystyle 2-2y-2z-3y+4z=1$

$\displaystyle 2-5y+2z=1$

$\displaystyle -5y+2z=-1$

$\displaystyle 2z=5y-1$

$\displaystyle z=\frac{5y-1}{2}.$

Τότε:

$\displaystyle x=1-y-\frac{5y-1}{2}$

$\displaystyle x=\frac{2-2y-5y+1}{2}$

$\displaystyle x=\frac{3-7y}{2}.$

Άρα:

$\displaystyle x=\frac{3-7y}{2}, \qquad z=\frac{5y-1}{2}.$

Από τη δεύτερη εξίσωση:

$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac1z=1$

παίρνουμε:

$\displaystyle \frac{2}{3-7y}+\frac1y+\frac{2}{5y-1}=1.$

Πολλαπλασιάζουμε με
$\displaystyle y(3-7y)(5y-1)$
και προκύπτει:

$\displaystyle 2y(5y-1)+(3-7y)(5y-1)+2y(3-7y) = y(3-7y)(5y-1).$

Υπολογίζουμε:

$\displaystyle 2y(5y-1)=10y^2-2y$

$\displaystyle (3-7y)(5y-1) = 15y-3-35y^2+7y = -35y^2+22y-3$

$\displaystyle 2y(3-7y)=6y-14y^2.$

Άρα:

$\displaystyle 10y^2-2y-35y^2+22y-3-14y^2+6y = -35y^3+22y^2-3y$

$\displaystyle -39y^2+26y-3 = -35y^3+22y^2-3y.$

Μεταφέρουμε όλα στο ένα μέλος:

$\displaystyle 35y^3-61y^2+29y-3=0.$

Δοκιμάζουμε ρητές ρίζες:

$\displaystyle 35-61+29-3=0$

οπότε y=1

είναι ρίζα.

Με $\displaystyle{Horner}$ :

$\displaystyle 35y^3-61y^2+29y-3 = (y-1)(35y^2-26y+3).$

Λύνουμε τη δευτεροβάθμια:

$\displaystyle 35y^2-26y+3=0.$

$\displaystyle \Delta = (-26)^2-4\cdot35\cdot3 = 676-420 = 256$

$\displaystyle \sqrt{\Delta}=16.$

Άρα:

$\displaystyle y=\frac{26\pm16}{70}.$

Επομένως:

$\displaystyle y=1, \qquad y=\frac35, \qquad y=\frac17.$

$\displaystyle{1}$ η περίπτωση: y=1

$\displaystyle z=\frac{5\cdot1-1}{2}=2$

$\displaystyle x=\frac{3-7}{2}=-2.$

Άρα:

$\displaystyle (x,y,z)=(-2,1,2).$

$\displaystyle{2}$ η περίπτωση: $y=\frac35$

$\displaystyle z=\frac{5\cdot\frac35-1}{2}=1$

$\displaystyle x=\frac{3-7\cdot\frac35}{2} = -\frac35.$

Άρα:

$\displaystyle (x,y,z)=\left(-\frac35,\frac35,1\right).$

$\displaystyle{3}$ η περίπτωση: $y=\frac17$

$\displaystyle z=\frac{5\cdot\frac17-1}{2} = -\frac17$

$\displaystyle x=\frac{3-7\cdot\frac17}{2}=1.$

Άρα:

$\displaystyle (x,y,z)=\left(1,\frac17,-\frac17\right).$

Τελικές λύσεις:

$\displaystyle \boxed{(-2,1,2)}$

$\displaystyle \boxed{\left(-\frac35,\frac35,1\right)}$

$\displaystyle \boxed{\left(1,\frac17,-\frac17\right)}.$

add2math · #3

Ας το δούμε κι αλλιώς.
Αφού το σύστημα ορίζεται για $xyz\neq0$ , υπάρχει $\lambda \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\lambda=\frac{z}{x}\Leftrightarrow z=\lambda x$ , οπότε η πρώτη εξίσωσή μας δίνει $y=1-z-x=1-\lambda x-x$ . Με αντικατάσταση στην 2η εξίσωση του συστήματος έχουμε:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-\lambda x-x}+\frac{1}{\lambda x}=1\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{1-\lambda x-x}+\frac{1}{\lambda x}-1=0\Leftrightarrow \frac{1-\lambda x-x+x}{x(1-\lambda x-x)}+\frac{1-\lambda x}{\lambda x}=0\Leftrightarrow$
$\frac{1-\lambda x}{x}(\frac{1}{1-\lambda x-x}+\frac{1}{\lambda })=0\Leftrightarrow$ $\frac{1-\lambda x}{x}(\frac{\lambda+1-\lambda x-x}{(1-\lambda x-x)\lambda })=0\Leftrightarrow$ $\frac{1-\lambda x}{x}\frac{(\lambda+1)(1-x)}{(1-\lambda x-x)\lambda }=0$
Οπότε $1-\lambda x=0\vee \lambda+1=0\vee 1-x=0$

Αν $1-\lambda x=0\Rightarrow z=1$ , οι δυο πρώτες εξισώσεις του συστήματος δίνουν και με αντικατάσταση στην 3η εξίσωση καταλήγουμε στην $\boxed{(x,y,z)=(-\frac{3}{5},\frac{3}{5},1)}$

Αν $\lambda +1=0\Rightarrow z=-x$ , οι δυο πρώτες εξισώσεις του συστήματος δίνουν και με αντικατάσταση στην 3η εξίσωση καταλήγουμε στην $\boxed{(x,y,z)=(-2,1,2)}$

Αν $1-x=0\Rightarrow x=1$ , οι δυο πρώτες εξισώσεις του συστήματος δίνουν και με αντικατάσταση στην 3η εξίσωση καταλήγουμε στην $\boxed{(x,y,z)=(1,\frac{1}{7},-\frac{1}{7})}$

Εκ συστήματος

Εκ συστήματος

Re: Εκ συστήματος

Re: Εκ συστήματος

Μέλη σε σύνδεση