Εφηβική γωνία

KARKAR · #1

: Εφηβική γωνία.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, το

είναι ένα σημείο της

, τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου

,

να εφάπτεται της

και επιπλέον να διέρχεται από το μέσο

της

. Υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 6:01 pm
Εφηβική γωνία.pngΣτο ορθογώνιο , το είναι ένα σημείο της , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ,

να εφάπτεται της και επιπλέον να διέρχεται από το μέσο της . Υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

.
Έστω

η ακτίνα του κύκλου, οπότε BC=R

και

. Γράφουμε AM=d

οπότε και

.

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα AMS, ABC

έχουμε $\dfrac {AS}{AM}= \dfrac {AC}{AB}$ , δηλαδή $\dfrac {2R}{d}= \dfrac {2d}{\sqrt {(2d)^2-R^2}}$ .

Με ύψωση στο τετράγωνο και αναγωγές, έχουμε R^4-4d^2R^2+d^4=0

, από όπου λύνοντας την εξίσωση είναι $R=\sqrt {2-\sqrt 3}d$ . Άρα

$\sin \theta = \dfrac {BC}{AC}=\dfrac {R}{2d}= \dfrac {\sqrt {2-\sqrt 3}}{2}=\sin {15^o}$ . Άρα $\boxed {\theta = 15^o}$

#3

Αν

είναι το κέντρο του ημικυκλίου και

η προβολή του

στην

, το ορθογώνιο τρίγωνο OMN

έχει

επομένως $\angle{MOS}=30^0$ οπότε η ζητούμενη γωνία ισούται με 15^0

.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 6:01 pm
Εφηβική γωνία.pngΣτο ορθογώνιο , το είναι ένα σημείο της , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ,

να εφάπτεται της και επιπλέον να διέρχεται από το μέσο της . Υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

Το τετράπλευρο ADLO

είναι τετράγωνο και AD=AO=b=OS

$AO=OS, AM=MC\Rightarrow OM//SC,OS=SC=2b,\hat{MOS}=\hat{CSB}=2\theta$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

$SCB,SC=2CB,\hat{CSB}=30^{0}=2\theta ,\hat{\theta }=15^{0}$

KARKAR · #5

: barb.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Το σχήμα της έξοχης και σύντομης λύσης του Ανδρέα , η οποία (όπως και αυτή του Γιάννη ) , "οδηγούν"

την άσκηση στον φάκελο "Γεωμετρία Α' " . Η λύση του Μιχάλη ταιριάζει και με την Άλγεβρα Β' .

Nikitas K. · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 6:01 pm
Εφηβική γωνία.png Στο ορθογώνιο , το είναι ένα σημείο της , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ,

να εφάπτεται της και επιπλέον να διέρχεται από το μέσο της . Υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

: Εφηβική γωνία.png (880.89 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Η πλευρά

(...) εφάπτεται στο ημικύκλιο (...), μάλιστα στο σημείο

αφού το σημείο

ανήκει στην

, αλλά και είναι άκρο της διαμέτρου

(...) και $DA \perp AS$

DN = r

, αφού

ως εφαπτόμενα τμήματα του «κύκλου», που άγονται από σημείο εκτός αυτού.

$CN = \sqrt{2}x$ από δύναμη του σημείου

ως προς τον «κύκλο».

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ADC$ προκύπτει $r = \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}x$

$\angle ACD = \theta$ λόγω ότι οι γωνίες SAC

και

είναι εντός εναλλάξ (...).

Επομένως $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \sin15^\circ$

Άρα $\theta = 15^\circ$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 6:01 pm
Εφηβική γωνία.pngΣτο ορθογώνιο , το είναι ένα σημείο της , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ,

να εφάπτεται της και επιπλέον να διέρχεται από το μέσο της . Υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

.

: Εφηβ.png (28.17 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές

.
Εύκολα βλέπουμε ότι $\widehat {EAS} =45^o$ , οπότε $AE=R\sqrt 2$ . Επίσης, από την δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχουμε $EC=d\sqrt 2$ .

Από τα όμοια τρίγωνα AEC, EMC

(ίσες γωνίες) έπεται $\dfrac {EA}{AC}=\dfrac {EM}{EC}$ , ισοδύναμα $\dfrac {R\sqrt 2}{2d}=\dfrac {EM}{d\sqrt 2}$ . Άρα EM= R

, που σημαίνει ότι το τρίγωνο DEM

είναι ισοσκελές και άρα η εξωτερική του γωνία $\phi = 2 \theta$ . Οπότε έχουμε

$45^o= \widehat {EAS} =\phi + \theta = 3\theta$ , και άρα $\boxed {\theta = 15^o}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 08, 2025 6:01 pm
Εφηβική γωνία.pngΣτο ορθογώνιο , το είναι ένα σημείο της , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ,

να εφάπτεται της και επιπλέον να διέρχεται από το μέσο της . Υπολογίστε την γωνία $\theta$ .

Προφανώς ισχύει $\dfrac{a}{2} =b$ και

είναι μεσοκάθετος της

άρα

Έτσι,

άρα $\angle 2θ=30^0 \Rightarrow \theta =15^0$

: Εφηβική γωνία.png (17.53 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

#9

Καλημέρα σε όλους.

: geogebra-export (2).png (246.27 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Στο σχήμα: CC' = 2R

. Από ομοιότητα AMM' , ACC'

είναι

οπότε τόξο MM' = 60^o

,

άρα γωνία CAC' = 30^o

και

Εφηβική γωνία

Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Re: Εφηβική γωνία

Μέλη σε σύνδεση