Ανηφόρα με καμπή

KARKAR · #1

Δεν χρειάζεται - ίσως και να μην μπορείτε - να υπολογίσετε τους αριθμούς a , b , c

, της άσκησης που ακολουθεί :

Αν : a+b+c=5 , a^2+b^2+c^2=11 , a^3+b^3+c^3=20

, υπολογίστε και το : a^4+b^4+c^4

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 12:04 pm
Δεν χρειάζεται - ίσως και να μην μπορείτε - να υπολογίσετε τους αριθμούς , της άσκησης που ακολουθεί :

Αν : , υπολογίστε και το : .

Από τις ταυτότητες:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc) \hfill \\ 2(ab + bc + ca) = {(a + b + c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ παίρνω $\boxed{abc=0}$

έστω π,χ, c=0.

Τότε

και

οπότε

$\displaystyle {a^4} + {b^4} + {c^4} = {a^4} + {b^4} = {({a^2} + {b^2})^2} - 2{(ab)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a^4+b^4+c^4=23}$

Ομοίως αν a=0

ή

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 12:04 pm
Δεν χρειάζεται - ίσως και να μην μπορείτε - να υπολογίσετε τους αριθμούς , της άσκησης που ακολουθεί :

Αν : , υπολογίστε και το : .

Είναι πολλή κοινή άσκηση και την έχουμε δει σε μικροπαραλλαγές πάρα πολλές φορές στο mathematica. Π.χ.

εδώ.

και

εδώ

και

εδώ

και σε πολλά ακόμα σημεία. Επίσης, υπάρχει παρόμοια σε όλα ανεξαιρέτως και καλά βιβλία Άλγεβρας για υποψηφίους.

Ακολουθόντας ακριβώς τα ίδια βήματα με τις παραπομπές θα βρούμε από τις δύο πρώτες

ab+bc+ca= 7

. Ανάλογα

(θα αγνοήσω την ευκολία που μας παρέχει αυτό, για να περιγράψω γενικότερη μέθοδο). Άρα τα a,b,c

είναι από Vieta ρίζες της

t^3-5t^2+7t=0

. Άρα

, οπότε

.

Βάζουμε t=a, b, c

και προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε

$a^4+b^4+c^4= 5\times 20- 7\times 11 = 23$

#4

Να συμπληρώσω απλώς ότι μόνο ένας από τους a, b, c

είναι

ενώ οι
άλλοι δύο δεν είναι πραγματικοί, αφού έχουν άθροισμα

και γινόμενο

KARKAR · #5

Όμορφες και οι δύο απαντήσεις . Θα μπορούσε να ρωτήσει κανείς , ποιο είναι το "κόλπο" στο να φτιάξει

κανείς μια τέτοια άσκηση , στην οποία και τα τέσσερα αθροίσματα να είναι ακέραιοι αριθμοί ...

Συμπλήρωση : Εννοείται χωρίς οι , να είναι όλοι ακέραιοι .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 5:42 pm
Όμορφες και οι δύο απαντήσεις . Θα μπορούσε να ρωτήσει κανείς , ποιο είναι το "κόλπο" στο να φτιάξει

κανείς μια τέτοια άσκηση , στην οποία και τα τέσσερα αθροίσματα να είναι ακέραιοι αριθμοί ...

.
Η διαδικασία με την τριτοβάθμια που έγραψα, μας δίνει τρόπο να εξασφαλίσουμε να είναι ακέραια όλα τα αθροίσματα που μας ενδιαφέρουν (και άλλα ακόμη: βλέπε την τελευταία γραμμή του συλλογισμού). Από την άλλη τα a,b,c

δεν είναι κατ' ανάγκη ακέραιοι (είναι οι ρίζες της εξίσωσης).

Ας δούμε τις λεπτομέρειες.

Αρχίζουμε με οποιαδήποτε τριτοβάμια η οποία έχει ακέραιους συντελεστές εκ των οποίων ο μεγιστοβάθμιος είναι

. Αυτό, από Vieta, μας εξασφαλίζει ότι είναι ακέραιοι οι

a+b+c, ab+bc+ca, abc

. Άρα είναι ακέραιοι και οι

a^2+b^2+c^2= (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)

και

.

Τώρα, επειδή η τριτοβάθμια έχει μεγιστοβάθμιο συντελεστή

, έπεται ότι ισχύει t^3=-At^2-Bt-C

για ακέραιους A,B,C

που ξεκινήσαμε.

Συνεπώς πολλαπλασιάζοντας επί

έχουμε

.

Βάζοντας όπου t=a, b, c

(τις ρίζες της τριτοβάθμιας) και προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε

$a^4+b^4+c^4= -A(a^3+b^3+c^3 ) - B(a^2+b^2+c^2)-C(a+b+c) \in \mathbb Z$ .

Και μάλιστα, πολλαπλασιάζοντας ξανά επί

, βρίσκουμε επαγωγικά ότι για όλα τα

είναι ακέραιος ο a^N+b^N+c^N

.

Ανηφόρα με καμπή

Ανηφόρα με καμπή

Re: Ανηφόρα με καμπή

Re: Ανηφόρα με καμπή

Re: Ανηφόρα με καμπή

Re: Ανηφόρα με καμπή

Re: Ανηφόρα με καμπή

Μέλη σε σύνδεση