Κορφοβούνια

KARKAR · #1

Δίνεται η παραβολή : $f(x)=\dfrac{m}{4}x^2+2x-(m+1)$ , με : m<0

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

της κορυφής της παραβολής . Εξηγήστε γιατί η κορυφή αυτή δεν έχει ποτέ τεταγμένη μικρότερη του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 19, 2025 7:44 pm
Δίνεται η παραβολή : $f(x)=\dfrac{m}{4}x^2+2x-(m+1)$ , με : . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

της κορυφής της παραβολής . Εξηγήστε γιατί η κορυφή αυτή δεν έχει ποτέ τεταγμένη μικρότερη του .

H κορυφή δίνεται όταν $x=-\dfrac {b}{2a} = -\dfrac {4}{m}. \, (*)$ . Eιδικά x>0

αφού

. H αντίστοιχη τιμή του $y= f\left (-\dfrac {4}{m}\right ) =...= -\dfrac {4}{m} -m-1$ .

Για να βρούμε την εξίσωση του τόπου απαλοίφουμε το

, το οποίο βέβαια από την (*)

ισούται με $-\dfrac {4}{x}$ . Θα βρούμε

$y=-\dfrac {4}{m} -m-1 = x+ \dfrac {4}{x}-1$ που είναι ακριβώς η ζητούμενη εξίσωση, συγκεκριμένα

$\boxed {y= x+ \dfrac {4}{x}-1, \, x>0}$ .

Έχουμε ακόμη από ΑΜ-ΓΜ ότι $y\ge 2 \sqrt {x\cdot \dfrac {4}{x}}-1= 3$ , με ισότητα όταν x=2

.

Κορφοβούνια

Κορφοβούνια

Re: Κορφοβούνια

Μέλη σε σύνδεση