Συστημική αυξητική τάση

KARKAR · #1

Να λυθεί το σύστημα : $\begin{cases} x^2+2xy+3y^2 & =22 \\ 2x^2+3xy+8y^2& =77 \end{cases}$
Το θέμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε διαγωνισμούς .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 8:02 am
Να λυθεί το σύστημα : $\begin{cases} x^2+2xy+3y^2 & =22 \\ 2x^2+3xy+8y^2& =77 \end{cases}$
Το θέμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε διαγωνισμούς .

Χρόνια πολλά Θανάση . Υγεία και οικογενειακή ευτυχία

Απαλείφω τους σταθερούς όρους και προκύπτει : $\left( {x + y} \right)\left( {3x + 5y} \right) = 0$ .

Απαλείφω και τους όρους:

, κι έχω ${x^2} + 7{y^2} = 88$

Τελικά : $\left( {x,y} \right) = \left( {5, - 3} \right)\,\,\,,\left( {x,y} \right) = \left( { - 5,3} \right)\,\,,\,\left( {x,y} \right) = \left( { - \sqrt {11} ,\sqrt {11} } \right),\,\left( {x,y} \right) = \left( {\sqrt {11} , - \sqrt {11} } \right)\,\,$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 8:02 am
Να λυθεί το σύστημα : $\begin{cases} x^2+2xy+3y^2 & =22 \\ 2x^2+3xy+8y^2& =77 \end{cases}$
Το θέμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε διαγωνισμούς .

Χρόνια Πολλά Θανάση!

$\displaystyle \bullet$ Πολλαπλασιάζω την πρώτη εξίσωση με

και αφαιρώ κατά μέλη:

$\displaystyle 2{y^2} - xy = 33 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2{y^2} - 33}}{y}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ Πολλαπλασιάζω την πρώτη με

τη δεύτερη με

και αφαιρώ κατά μέλη:

$\displaystyle {x^2} + 7{y^2} = 88\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {y^4} - 20{y^2} + 99 = 0 \Leftrightarrow y = \pm 3 \vee y = \pm \sqrt {11}$

Αντικαθιστώντας τώρα στην (1)

παίρνω τις λύσεις $\boxed{(x,y) \in \left\{ {( - 5,3),(5, - 3),( - \sqrt {11} ,\sqrt {11} ),(\sqrt {11,} - \sqrt {11} )} \right\}}$

Με πρόλαβε ο φίλτατος Νίκος. Το αφήνω.

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 8:02 am
Να λυθεί το σύστημα : $\begin{cases} x^2+2xy+3y^2 & =22 \\ 2x^2+3xy+8y^2& =77 \end{cases}$

Μετά από τις υπεράριστες λύσεις που προηγήθηκαν, επιτρέψτε μου να θυμίσω και την κλασική μέθοδο στις αριστερά ομογενείς παραστάσεις,

όπου θέτουμε y=kx

και βρίσκουμε έτσι το

(Μετά την αντικατάσταση διαίρεση κατά μέλη κτλ. οπότε για εδώ παίρνουμε $k=\pm 1)$ ,

και η συνέχεια έπεται.

Εννοείται πως διαπιστώσαμε ότι για x=0

ή

πάμε σε άτοπο.

Συστημική αυξητική τάση

Συστημική αυξητική τάση

Re: Συστημική αυξητική τάση

Re: Συστημική αυξητική τάση

Re: Συστημική αυξητική τάση

Μέλη σε σύνδεση