Κυβισμός

KARKAR · #1

$\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt[3]{3x+10}-\sqrt[3]{3x-10}=2$

Nikitas K. · #2

Θέτουμε, $a=\sqrt[3]{3x+10}$ και $b=\sqrt[3]{3x-10}$
Ισχύει ότι:
$\displaystyle a^3 - b^3 = (a-b)[(a-b)^2+3ab]$

$\displaystyle \Leftrightarrow 3x+10 - 3x+10 = 2 (4 + 3\sqrt[3]{9x^2-100})$

$\displaystyle \Leftrightarrow 20 = 8 +6\sqrt[3]{9x^2-100}\Leftrightarrow 12 = 6\sqrt[3]{9x^2-100}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2 = \sqrt[3]{9x^2-100}\Leftrightarrow 8 = 9x^2-100$

$\displaystyle \Leftrightarrow x^2 = \frac{108}{9} \Leftrightarrow x^2 = 12\Leftrightarrow x = 2\sqrt{3}$ , επειδή πρέπει $x\geq\frac{10}{3}$ .

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τους μαθητές του

, αν επιτρέπεται, μια διαφορετική προσέγγιση με ταυτότητα Euler που πριν λίγα χρόνια υπήρχε στο σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.

Πρέπει $\displaystyle x \geqslant \frac{{10}}{3}$

$\displaystyle \sqrt[3]{{3x + 10}} - \sqrt[3]{{3x - 10}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3x + 10}} - \sqrt[3]{{3x - 10}} - 2 = 0$

Από την ταυτότητα Euler: $\displaystyle a + b + c = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$

έχουμε $\displaystyle 3x + 10 + \left( { - 3x + 10} \right) + \left( { - 8} \right) = 6\sqrt[3]{{9{x^2} - 100}} \Leftrightarrow 9{x^2} = 108 \Leftrightarrow {x^2} = 12$ .

Δεκτή ρίζα $\displaystyle x = \sqrt {12}$

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2024 10:39 pm
Καλησπέρα σε όλους. Μετά τους μαθητές του , αν επιτρέπεται, μια διαφορετική προσέγγιση με ταυτότητα Euler που πριν λίγα χρόνια υπήρχε στο σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.

Πρέπει $\displaystyle x \geqslant \frac{{10}}{3}$

$\displaystyle \sqrt[3]{{3x + 10}} - \sqrt[3]{{3x - 10}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3x + 10}} - \sqrt[3]{{3x - 10}} - 2 = 0$

Από την ταυτότητα Euler: $\displaystyle a + b + c = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$

έχουμε $\displaystyle 3x + 10 + \left( { - 3x + 10} \right) + \left( { - 8} \right) = 6\sqrt[3]{{9{x^2} - 100}} \Leftrightarrow 9{x^2} = 108 \Leftrightarrow {x^2} = 12$ .

Δεκτή ρίζα $\displaystyle x = \sqrt {12}$

Κυβισμός

Κυβισμός

Re: Κυβισμός

Re: Κυβισμός

Re: Κυβισμός

Μέλη σε σύνδεση