Το τέταρτο τμήμα

KARKAR · #1

: Το τέταρτο τμήμα.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

Το σημείο

είναι ο νότιος πόλος του περικύκλου , του ορθογωνίου τριγώνου ABC

. Η

τέμνει την παράλληλη από το

προς την πλευρά

, στο σημείο

. Υπολογίστε το (BP)

.

Προαιρετικό : Μπορείτε να γενικεύσετε για οποιεσδήποτε κάθετες πλευρές ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2024 7:01 pm
Το τέταρτο τμήμα.pngΤο σημείο είναι ο νότιος πόλος του περικύκλου , του ορθογωνίου τριγώνου . Η

τέμνει την παράλληλη από το προς την πλευρά , στο σημείο . Υπολογίστε το .

Προαιρετικό : Μπορείτε να γενικεύσετε για οποιεσδήποτε κάθετες πλευρές ;

Ας είναι

ο βόρειος πόλος και

το μέσο του

. Θέτω $MS = y \Rightarrow MN = 2R - y = \sqrt {{b^2} + {c^2}} - y$ .

Επειδή , $A{M^2} = MS \cdot MN \Rightarrow \dfrac{{{b^2}}}{4} = y\left( {\sqrt {{b^2} + {c^2}} - y} \right)$ προκύπτει δευτέρου βαθμού με δεκτή λύση : $y = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} - c}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: Το τέταρτο τμήμα.png (20.98 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων , $BPA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAS$ έχω: $\dfrac{{BP}}{{AM}} = \dfrac{{BA}}{{MS}} \Rightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{1}{2}b}} = \dfrac{c}{{\dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} - c}}{2}}}$ .

Η πιο πάνω σχέση αν λύθεί ως προς ,

μας δίδει $\boxed{x = \dfrac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} - c}}}$ . για $b = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 3 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{12}}{{5 - 3}} = 6}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2024 7:01 pm
Το τέταρτο τμήμα.pngΤο σημείο είναι ο νότιος πόλος του περικύκλου , του ορθογωνίου τριγώνου . Η

τέμνει την παράλληλη από το προς την πλευρά , στο σημείο . Υπολογίστε το .

Προαιρετικό : Μπορείτε να γενικεύσετε για οποιεσδήποτε κάθετες πλευρές ;

Από την ομοιότητα των τριγώνων PBA, AMS

είναι $\displaystyle \frac{{PA}}{{AS}} = \frac{{2x}}{b} \Leftrightarrow \frac{{PA}}{{PS}} = \frac{{2x}}{{2x + b}} \Leftrightarrow PS = \frac{{2x + b}}{{2x}}PA$

: Το 4ο τμήμα.Κ.png (15.23 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές

$\displaystyle PB \cdot PT = PA \cdot PS \Leftrightarrow x(x + b) = \frac{{2x + b}}{{2x}}P{A^2} = \frac{{2x + b}}{{2x}}({x^2} + {c^2}) \Leftrightarrow$

$\displaystyle b{x^2} - 2{c^2}x - b{c^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x = \frac{c}{b}\left( {c + \sqrt {{b^2} + {c^2}} } \right)}$ Στην άσκησή μας για b=4, c=3,

είναι $\boxed{x=6}$

Το τέταρτο τμήμα

Το τέταρτο τμήμα

Re: Το τέταρτο τμήμα

Re: Το τέταρτο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση