Ρητή προέκταση

KARKAR · #1

: Ρητή προέκταση.png (5.76 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Υπολογίστε την προέκταση x (= CD)

, ώστε : $\widehat{CBD}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 8:36 pm
Υπολογίστε την προέκταση , ώστε : $\widehat{CBD}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

Φέρνουμε την διχοτόμο

της $\angle ABC$ . Από το θεώρημα των διχοτόμων είναι $AX:XC= AB:BC = \frac {4}{5}$ . Άρα $AX = \frac {4}{3},\, XC = \frac {5}{3}$ .

Από το Πυθαγόρειο είναι $BX = \sqrt { AB^2+ AX^2}= \sqrt {4^2+ \left ( \frac {4}{3} \right ) ^2}= \frac {4}{3}\sqrt {10}$ και $BD = \sqrt { 4^2+ (3+x)^2}$

Επειδή η

διχοτομεί την $\angle CBD$ (εκάστη από τις δύο ίσες γωνίες είναι B/2

) έχουμε από το θεώρημα των διχοτόμων ότι BX:BD= XC:CD

, ή αλλιώς

$\displaystyle{ \dfrac { \frac {4}{3}\sqrt {10} }{\sqrt { 4^2+ (3+x)^2}} = \dfrac { \frac {5}{3}} {x}}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο και λύνοντας την δευτεροβάθμια που προκύπτει, θα βρούμε $x= \frac {25}{9}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 8:36 pm
Ρητή προέκταση.pngΥπολογίστε την προέκταση , ώστε : $\widehat{CBD}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

οπότε $\angle E= \angle ECB= \dfrac{ \phi }{2}$

Είναι $tan\dfrac{ \phi }{2}= \dfrac{AC}{AE}= \dfrac{3}{9}$ και $tan \phi = \dfrac{3}{5}$

$tan \dfrac{3 \phi }{2} = \dfrac{3+x}{4}= \dfrac{tan \phi +tan \dfrac{ \phi }{2} }{1-tan \phi tan \dfrac{ \phi }{2} }= \dfrac{13}{9} \Rightarrow x= \dfrac{25}{9}$

: ρητή προέκταση.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 8:36 pm
Ρητή προέκταση.pngΥπολογίστε την προέκταση , ώστε : $\widehat{CBD}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

$\displaystyle \tan \varphi = \frac{3}{4},\tan \frac{{3\varphi }}{2} = \frac{{x + 3}}{4}.$ Εύκολα βρίσκω $\displaystyle \tan \frac{\varphi }{2} = \frac{1}{3}$

$\displaystyle \tan \dfrac{{3\varphi }}{2} = \dfrac{{3\tan \dfrac{\varphi }{2} - {{\tan }^3}\dfrac{{\varphi }}{2}}}{{1 - 3{{\tan }^2}\dfrac{{\varphi }}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{4} = \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{27}}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{25}{9}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 8:36 pm
Ρητή προέκταση.pngΥπολογίστε την προέκταση , ώστε : $\widehat{CBD}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

Φέρνω τη διχοτόμο

. Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την

. Οι ευθείες $AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο

.

Θέτω

και είναι :
.

: Ρητή προέκταση.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

.
$\left\{ \begin{gathered} \tan \omega = \dfrac{4}{3} \hfill \\ \tan \theta = \dfrac{k}{4} \hfill \\ k = \dfrac{{3 \cdot 4}}{{3 + 5}} = \dfrac{4}{3} \hfill \\ \tan \phi = \tan \left( {\omega - \theta } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \tan \omega = \dfrac{4}{3} \hfill \\ \tan \theta = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \dfrac{4}{{x + 3}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{3}}}{{1 + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{25}}{9}}$

Ρητή προέκταση

Ρητή προέκταση

Re: Ρητή προέκταση

Re: Ρητή προέκταση

Re: Ρητή προέκταση

Re: Ρητή προέκταση

Μέλη σε σύνδεση