Διαδοχικοί φυσικοί

KARKAR · #1

Βρείτε τον πραγματικό

, αν οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου : 2x^3-30x^2+kx

,

για τρεις διαδοχικούς φυσικούς , είναι κι αυτές τρεις διαδοχικοί φυσικοί .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 29, 2022 8:21 am
Βρείτε τον πραγματικό , αν οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου : ,

για τρεις διαδοχικούς φυσικούς , είναι κι αυτές τρεις διαδοχικοί φυσικοί .

Έστω $\displaystyle P(x) = 2{x^3} - 30{x^2} + kx.$ Από την υπόθεση για κάποιο φυσικό αριθμό n>1

είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} P(n) - P(n - 1) = 1\\ \\ P(n + 1) - P(n) = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6{n^2} - 66n + k + 31 = 0\\ \\ 6{n^2} - 54n + k - 29 = 0 \end{array} \right.$ και με απαλοιφή του

βρίσκω $\boxed{n=5}$

Αντικαθιστώντας τώρα σε μία από τις παραπάνω εξισώσεις, παίρνω $\boxed{k=149}$

Και η επαλήθευση: $\displaystyle P(n - 1) = 244,P(n) = 245,P(n + 1) = 246$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 29, 2022 8:21 am
Βρείτε τον πραγματικό , αν οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου : ,

για τρεις διαδοχικούς φυσικούς , είναι κι αυτές τρεις διαδοχικοί φυσικοί .

Κάτι παρεμφερές .

$f(x) = x(2{x^2} - 30x + k)$

Αρκεί να υπάρχει φυσικός

έτσι ώστε :

$2f(x) = f(x - 1) + f(x + 1) \Leftrightarrow 60 - 12x = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Τα υπόλοιπα όπως ο Γιώργος

#4

Από τα συμφραζόμενα της άσκησης οι τρεις διαδοχικοί $P(n-1),\, P(n),\, P(n+1)$ είναι σε αύξουσα σειρά, εδώ οι $244,\, 245,\, 246$ .

Αν επιτρέψουμε να είναι σε φθίνουσα, τότε έχουμε και άλλη λύση πέρα από την παραπάνω $n=5, \, k =149$ που βρήκαμε. Σε αυτή την εκδοχή έχουμε και την λύση $n=5, \, k =147$ . Για την επαλήθευση $\displaystyle P(n - 1) = 236,P(n) = 235,P(n + 1) = 234$ .

Την βρίσκουμε ακριβώς όπως πριν με μόνη διαφορά ότι λύνουμε τις $P(n)-P(n-1) =-1,\, P(n+1)-P(n) =-1$

Διαδοχικοί φυσικοί

Διαδοχικοί φυσικοί

Re: Διαδοχικοί φυσικοί

Re: Διαδοχικοί φυσικοί

Re: Διαδοχικοί φυσικοί

Μέλη σε σύνδεση