Πολυώνυμο

Tolaso J Kos · #1

Το $\mathrm{P}$ είναι πολυώνυμο βαθμού $2\nu$ και για αυτό ισχύει

$\displaystyle{\mathrm{P}(x) + x^{2\nu} \mathrm{P} \left ( \frac{1}{x} \right ) =0 }$
Να δειχθεί ότι το x^2-1

είναι παράγοντας του $\mathrm{P}$ και αν $\Pi(x)$ το πηλίκο , τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση $\Pi(x)=0$ έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς ανά δύο.

Xriiiiistos · #2

Πεδίο ορισμού $x\in \mathbb{R}-(0)$

Έστω $P(x)=a_{2n}x^{2n}+...+a_{0}$ τότε $x^{2n}P(\frac{1}{x})=a_{2n}+a_{2n-1}x+...+a_{0}x^{2n}$ προσθέτοντας και θέτοντας πολυώνυμο G(x)

έχουμε

$G(x)=P(x)+x^{2n}P(\frac{1}{x})=(a_{0}+a_{2n})x^{2n}+(a_{1}+a_{2n-1})x^{2n-1}+...+(a_{0}+a_{2n})=0$ Για να ισχύει για κάθε

πρέπει

$a_{0}=-a_{2n},a_{1}=a_{2n-1}...$ και τα λοιπά εκτός από τον μεσαίο συντελεστή που θα είναι $a_{n}=0$ αφού το G(x)

είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Οπότε τώρα θα έχουμε

$P(x)=-a_{0}x^{2n}-a_{1}x^{2n-1}-...-a_{n-1}x^{n+1}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$

$-a_{0}x^{2n}+a_{0}=-a_{0}(x^{2n}-1)=-a_{0}(x^{2}-1)(x^{n}+...+1)$ έτσι μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε όλο το πολυώνυμο και να βγάλουμε κοινό παράγοντα το $x^{2}-1$ Οπότε το $x^{2}-1$ διαιρεί το P(x)

τέλεια, το δεύτερο θα το δω πιο μετά

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 21, 2018 10:44 am
Το $\mathrm{P}$ είναι πολυώνυμο βαθμού $2\nu$ και για αυτό ισχύει

$\displaystyle{\mathrm{P}(x) + x^{2\nu} \mathrm{P} \left ( \frac{1}{x} \right ) =0 }$
Να δειχθεί ότι το είναι παράγοντας του $\mathrm{P}$ και αν $\Pi(x)$ το πηλίκο , τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση $\Pi(x)=0$ έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς ανά δύο.

Πιο απλά: Θέτοντας x=1

στην δοθείσα, είναι $\displaystyle{\mathrm{P}(1) + 1^{2\nu} \mathrm{P} (1 ) =0 }$ . Άρα $\mathrm{P} (1 ) =0$ , που σημαίνει ότι η x=1

είναι ρίζα. Όμοια η x=-1

δίνει $\displaystyle{\mathrm{P}(-1) + (-1)^{2\nu} \mathrm{P} (-1 ) =0 }$ . Άρα $\mathrm{P} (-1 ) =0$ , που σημαίνει ότι η x=-1

είναι ρίζα. Άρα το

έχει παράγοντα το (x-1)(x+1)=x^2-1

.

Για το β' μέρος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ