Τέλειο τετράγωνο

tdsotm111 · #1

Για το πολυώνυμο P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1

να βρεθούν οι ακέραιοι

για τους οποίους οι τιμές του πολυωνύμου είναι τέλεια τετράγωνα.

#2

Μήπως θέλεις ακέραια

tdsotm111 · #3

Χίλια συγγνώμη, ναι τους ακεραιους

Al.Koutsouridis · #4

Είναι παρόμοιο θέμα με το θέμα 2 του "Αρχιμήδη" του 2000, ως αναφορά την λύση τουλάχιστον.

#5

tdsotm111 έγραψε:Για το πολυώνυμο να βρεθούν οι ακέραιοι για τους οποίους οι τιμές του πολυωνύμου είναι τέλεια τετράγωνα.

Η άσκηση δεν σχετίζεται με τα πολυώνυμα και με τη σχολική ύλη.

Καλούμαστε να λύσουμε τη διοφαντική εξίσωση

$\displaystyle{x^4+x^3+x^2+x+1=y^2}$ στο $\displaystyle{\mathbb{Z}^2.}$

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4}$

και παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{x}$ ισχύει

$\displaystyle{(2x^2+x)^2<4y^2\leq (2x^2+x+2)^2.}$

Πράγματι, η αριστερή είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{3x^2+4x+4>0}$ που προφανώς ισχύει, ενώ η δεξιά είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{5x^2\geq 0.}$

Άρα πρέπει

$\displaystyle{4y^2=(2x^2+x+1)^2\vee 4y^2=(2x^2+x+2)^2.}$

Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε $\displaystyle{x=-1, x=3,}$ ενώ στη δεύτερη $\displaystyle{x=0.}$

tdsotm111 · #6

H άσκηση δόθηκε σε σχολείο σε τμήμα της Β' Λυκείου. Τα συμπεράσματα δικά σας.

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση