Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Πολυχρόνης · #1

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλη την κοινότητα.

Έχω μία άσκηση που με έχει παιδέψει αρκετά θα έλεγα, έχω κάποιες σκέψεις και κάποιους ενδιασμούς παράλληλα.
Η άσκηση έχει ως εξής:

Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης του πολ/μου $P(x)=(x-a)^{2k}+(x-a+1)^k-1$ με το πολυώνυμο Q(x)=(x-a)^2+x-a

όπου $k\in \mathbb{N}^*$ και $a\in \mathbb{R}$ .

Έχω ελέγξει ότι το Q(x)

είναι παράγοντας του P(x)

και συνεπώς το υπόλοιπο της ζητούμενης διαίρεσης είναι 0, έτσι καταλήγω ότι
$(x-a)^{2k}+(x-a+1)^k-1=[(x-a)^2+x-a]\cdot \pi(x) \Leftrightarrow$
$(x-a)^{2k}+(x-a+1)^k-1=(x-a)(x-a+1)\cdot \pi(x) \hspace{0.5cm} (1)$

Δεδομένου ότι το $\pi(x)$ θα είναι βαθμού 2κ-2 εικάζω (για την οποία εικασία έχω κάποιους ενδιασμούς) ότι για να ισχύει η (1) το $\pi(x)$ θα αποτελείται από τρεις παραστάσεις Α, Β, C (εφόσον και το P(x)

αποτελείται απο τρεις παραστάσεις) που θα έχουν παράγοντες το x-a

και

και θα ισχύει $\pi(x)=A+B+C=(x-a)^{2k-1}(x-a+1)^{-1}+(x-a)^{-1}(x-a+1)^{k-1}-(x-a)^{-1}(x-a+1)^{-1}=(x-a)^{-1}(x-a+1)^{-1}[(x-a)^{2k}+(x-a+1)^k-1$

Οι ενδιασμοί μου έχουν σχέση με το γεγονός ότι θα μπορούσε το πηλίκο να έχει τέτοια μορφή ώστε μετά από πράξεις και απλοποιήσεις να καταλήγει στο P(x)

και επιπλέων το $\pi(x)$ έχει παράγοντα με αρνητικό εκθέτη το οποίο προφανώς ισχύει για $x\neq a$ .

#2

Πολυχρόνη, χρόνια πολλά και καλώς όρισες στην παρέα μας.

Όσον αφορά την άσκησή σου, ιδού μερικές σκέψεις με σχολική ύλη.

* Αν k=1, τότε το πηλίκο είναι η μονάδα.
* Αν k > 1.
Ισχύει:
$(x-a)^{2k-1}+1=1^{2k-1}-(a-x)^{2k-1}=$
$=(1-a+x)[1+(a-x)+(a-x)^2+...+(a-x)^{2k-2}] (I)$

Επίσης:
$P(x)=(x-a)^{2k}+(x-a+1)^{k}-1^{k}=$

$=(x-a)^{2k}+(x-a+1-1)[(x-a+1)^{k-1}+(x-a+1)^{k-2}+...(x-a+1)+1]=$

$=(x-a)[(x-a)^{2k-1}+(x-a+1)^{k-1}+(x-a+1)^{k-2}+...(x-a+1)+1] (II)$

Η (ΙΙ) λόγω της (Ι) γίνεται:

$P(x)=(x-a)[(1-a+x)[1+(a-x)+(a-x)^2+...+(a-x)^{2k-2}]+$
$+(x-a+1)^{k-1}+(x-a+1)^{k-2}+...+(x-a+1)] =$

$=(x-a)(x-a+1)[1+(a-x)+(a-x)^2+...+(a-x)^{2k-2}+$
$+(x-a+1)^{k-2}+(x-a+1)^{k-3}+...+1]$

Συνεπώς αφού:

Q(x)=(x-a)(x-a+1)

,

το πηλίκο είναι:
$\pi (x) =1+(a-x)+(a-x)^2+...+(a-x)^{2k-2}+$
$+(x-a+1)^{k-2}+(x-a+1)^{k-3}+...+1$

Πολυχρόνης · #3

Ευχαριστώ πολύ για τη λύση. Είχα σκεφτεί αυτό τον τρόπο λύσης αλλά τον απέρηψα λόγω των συντελεστών της ταυτότητας a^k-b^k

τις οποίες έγραφα ως διονυμικό ανάπτηγμα.

#4

Πολυχρόνης έγραψε: Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης του πολ/μου $P(x)=(x-a)^{2k}+(x-a+1)^k-1$ με το πολυώνυμο όπου $k\in \mathbb{N}^*$ και $a\in \mathbb{R}$ .

Πολυχρόνη,

η απάντηση του Λευτέρη είναι, εννοείται, απολύτως σωστή. Αν θέλεις λίγο πιό ορατή λύση με λιγότερα σύμβολα θα έβαζα x -a = y .

Με άλλα λόγια θέλεις το πηλίκο του $y^{2k} + (y+1)^k -1$ δια του y^2 + y = y(y+1)

Είναι

$y^{2k} + (y+1)^k -1= y(y^{2k-1}+1) + (y+1)^{k} -(y+1)= \\ \,\,\,\,\, =y(y^{2k-1}+1) + (y+1) [(y+1)^{k-1} -1]$

Ο πρώτος όρος δεξιά γράφεται $y(y+1)(\kappa \alpha \tau \iota)\,$ και o δεύτερος $(y+1) [(y+1)^{k-1} -1]= (y+1)(y+1-1)(\kappa \alpha \tau \iota)\,$ .

Βγάζουμε τώρα τον κοινό παράγοντα y(y+1), και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Πολυχρόνης · #5

Κύριε Λάμπρου, ευχαριστώ για την επισήμανση σας. Υλοποίησα τη λύση ακριβώς που μου προτείνετε και εβελπιστώ τη μέγιστη κατανόηση της λύσης από τους μαθητές.

Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Re: Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Re: Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Re: Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Re: Πηλίκο σε πολ/μο βαθμού 2κ

Μέλη σε σύνδεση