Σύστημα

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 20, 2026 10:02 am

Να λύσετε το σύστημα: \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  x + y + z = 2 \hfill \\ 
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8 \hfill \\ 
  {x^3} + {y^3} + {z^3} = 17 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Ας το αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Fotis34
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 02, 2025 8:50 am

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Fotis34 » Παρ Μαρ 20, 2026 1:52 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2026 10:02 am
Να λύσετε το σύστημα: \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  x + y + z = 2 \hfill \\ 
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8 \hfill \\ 
  {x^3} + {y^3} + {z^3} = 17 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Ας το αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.

Ωραίο σύστημα :P . Το κάνω λίγο γρήγορα.

\displaystyle  
\begin{aligned} 
&x+y+z=2,\quad x^2+y^2+z^2=8,\quad x^3+y^3+z^3=17\\[6pt] 
&(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)\\ 
&4 = 8 + 2(xy+yz+zx)\Rightarrow xy+yz+zx=-2\\[6pt] 
&x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)\\ 
&17 - 3xyz = 2(8-(-2))=20 \Rightarrow xyz=-1\\[6pt] 
&t^3 - 2t^2 - 2t + 1 = 0\\ 
&(t+1)(t^2 - 3t + 1)=0\\[6pt] 
&t=-1,\quad t=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\[6pt] 
&(x,y,z)=\left(-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\ 
\end{aligned} 
και όλες οι κυκλικές μεταθέσεις αυτής.
τελευταία επεξεργασία από Fotis34 σε Σάβ Μαρ 21, 2026 4:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{\huge \textbf{\textcolor{blue}{I love tomorrow}}}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17394
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 20, 2026 7:38 pm

Για λιγότερη φ .. ασαρία , βλέπε εδώ .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14747
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 21, 2026 9:56 am

Fotis34 έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2026 1:52 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2026 10:02 am
Να λύσετε το σύστημα: \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  x + y + z = 2 \hfill \\ 
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8 \hfill \\ 
  {x^3} + {y^3} + {z^3} = 17 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Ας το αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.

Ωραία σύστημα :P . Το κάνω λίγο γρήγορα.

\displaystyle  
\begin{aligned} 
&x+y+z=2,\quad x^2+y^2+z^2=8,\quad x^3+y^3+z^3=17\\[6pt] 
&(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)\\ 
&4 = 8 + 2(xy+yz+zx)\Rightarrow xy+yz+zx=-2\\[6pt] 
&x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)\\ 
&17 - 3xyz = 2(8-(-2))=20 \Rightarrow xyz=-1\\[6pt] 
&t^3 - 2t^2 - 2t + 1 = 0\\ 
&(t+1)(t^2 - 3t + 1)=0\\[6pt] 
&t=-1,\quad t=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\[6pt] 
&(x,y,z)=\left(-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\ 
\end{aligned} 
και όλες οι κυκλικές μεταθέσεις αυτής.
:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης