Ας το αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.
Σύστημα
Συντονιστής: exdx
-
george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 14747
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σύστημα
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μαρ 20, 2026 10:02 amΝα λύσετε το σύστημα:
Ας το αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.
Ωραίο σύστημα
. Το κάνω λίγο γρήγορα.![\displaystyle
\begin{aligned}
&x+y+z=2,\quad x^2+y^2+z^2=8,\quad x^3+y^3+z^3=17\\[6pt]
&(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)\\
&4 = 8 + 2(xy+yz+zx)\Rightarrow xy+yz+zx=-2\\[6pt]
&x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)\\
&17 - 3xyz = 2(8-(-2))=20 \Rightarrow xyz=-1\\[6pt]
&t^3 - 2t^2 - 2t + 1 = 0\\
&(t+1)(t^2 - 3t + 1)=0\\[6pt]
&t=-1,\quad t=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\[6pt]
&(x,y,z)=\left(-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\
\end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5a749e0ededcb5f8753732221bc81f2f.png "\displaystyle
\begin{aligned}
&x+y+z=2,\quad x^2+y^2+z^2=8,\quad x^3+y^3+z^3=17\\[6pt]
&(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)\\
&4 = 8 + 2(xy+yz+zx)\Rightarrow xy+yz+zx=-2\\[6pt]
&x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx)\\
&17 - 3xyz = 2(8-(-2))=20 \Rightarrow xyz=-1\\[6pt]
&t^3 - 2t^2 - 2t + 1 = 0\\
&(t+1)(t^2 - 3t + 1)=0\\[6pt]
&t=-1,\quad t=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\[6pt]
&(x,y,z)=\left(-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\
\end{aligned}")
και όλες οι κυκλικές μεταθέσεις αυτής.
τελευταία επεξεργασία από Fotis34 σε Σάβ Μαρ 21, 2026 4:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 14747
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σύστημα
Fotis34 έγραψε: ↑Παρ Μαρ 20, 2026 1:52 pmgeorge visvikis έγραψε: ↑Παρ Μαρ 20, 2026 10:02 amΝα λύσετε το σύστημα:
Ας το αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.
Ωραία σύστημα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης