Άχαρο σύστημα

KARKAR · #1

Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+7xy+12y^2 &=0 \\ x^2-2xy+y^2-x+3y &=10 \\ \end{matrix}\right.$

Fotis34 · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2026 6:57 pm
Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x^2+7xy+12y^2 &=0 \\ x^2-2xy+y^2-x+3y &=10 \\ \end{matrix}\right.$

Καλησπέρα!

Η πρώτη εξίσωση γράφεται:
$\displaystyle x^2 + 7xy + 12y^2 = (x + 3y)(x + 4y) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = -3y , x = -4y.$

Δηλαδή έχουμε δύο περιπτώσεις:

(i) $\displaystyle{x = -3y:}$

$\displaystyle{(-3y)^2 - 2(-3y)y + y^2 -(-3y) + 3y = 16y^2 + 6y = 10 \quad \Leftrightarrow \quad 16y^2 + 6y - 10 = 0 \Leftrightarrow 8y^2 + 3y - 5 = 0.}$

$\displaystyle \Delta = 3^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 169$
$\displaystyle y = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{16} \quad \Rightarrow \quad y_1 = \frac{5}{8}, \; y_2 = -1$
$\displaystyle x_1 = -3y_1 = -\frac{15}{8}, \quad x_2 = -3y_2 = 3$

(ii) $\displaystyle{x = -4y:}$
$\displaystyle (-4y)^2 - 2(-4y)y + y^2 -(-4y) + 3y = 25y^2 + 7y = 10 \quad \Leftrightarrow \quad 25y^2 + 7y - 10 = 0$
$\displaystyle \Delta = 7^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-10) = 1049$
$\displaystyle y = \frac{-7 \pm \sqrt{1049}}{50}, \quad x = -4y = \frac{14 \mp 2\sqrt{1049}}{25}$

Άρα, έχουμε τις λύσεις:
$\displaystyle \boxed{ \left(-\frac{15}{8}, \frac{5}{8}\right), \quad (3, -1), \quad \left(\frac{14 - 2\sqrt{1049}}{25}, \frac{-7 + \sqrt{1049}}{50}\right), \quad \left(\frac{14 + 2\sqrt{1049}}{25}, \frac{-7 - \sqrt{1049}}{50}\right) }$

Άχαρο σύστημα

Άχαρο σύστημα

Re: Άχαρο σύστημα

Μέλη σε σύνδεση