Πράξεις και ακρότατο

KARKAR · #1

α) Να εκτελεσθούν οι πράξεις : $\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\left(x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

β) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^4+2x^2+1} , x>0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 8:41 am
α) Να εκτελεσθούν οι πράξεις : $\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\left(x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

β) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^4+2x^2+1} , x>0$ .

α) $\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\left(x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)= x^3+2x-\dfrac {16\sqrt 3}{9} +\dfrac {1}{x}$ (άμεση ρουτίνα, δεν αξίζει το μελάνι να γίνουν εδώ οι πράξεις αναλυτικά).

β) Δεδομένου ότι $f(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ , πρόκειται για την ειδική περίπτωση a=1

μόλις πριν από λίγο λυμένης άσκησης εδώ (βλέπε π.χ. στο ποστ #2 όπου γράφει το εμβαδόν του (SABP)

. Όπως και να είναι, το μέγιστο λαμβάνεται για $x= \dfrac {\sqrt 3}{3}$ και η τιμή του είναι $\dfrac {3\sqrt 3}{16}$ , όπως αντέγραψα από την παραπομπή.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 8:41 am
β) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^4+2x^2+1} , x>0$ .

.
Μου έγραψε ένα Π.Μ. ο Θανάσης επισημαίνοντας ότι η άσκηση είναι στον φάκελο της Β' Λυκείου, και άρα επιθυμεί λύση χωρίς παραγώγους.

Έχει δίκιο, και βελτιώνω.

Θέτοντας $x=\tan \theta$ η δοθείσα γίνεται

$\dfrac{x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{\tan \theta}{(\tan ^2 \theta+1)^2}= \dfrac{\dfrac {\sin \theta}{\cos \theta }}{\left (\dfrac {\sin ^2 \theta}{\cos ^2\theta }+1 \right )^2}= \sin \theta \cos ^3 \theta$

Αλλά το μέγιστο αυτού το συμπλήρωσα πριν από λίγο εδώ, βλέπε ποστ #10.

Οπότε είμαστε εντάξει.

Υπόψη ότι εδώ έγραψα μεν μία λύση που βασίζεται και στην Τριγωνομετρία, πλην όμως μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί και χωρίς αυτήν. Το αφήνω αλλά, αν χρειαστεί, θα επανέλθω.

KARKAR · #4

Η άσκηση κτίστηκε με την λογική να αξιοποιηθεί το πρώτο ερώτημα για την λύση του δεύτερου : Για x>0

λοιπόν :

Το μέγιστο της

επιτυγχάνεται όταν η $\dfrac{1}{f}$ παρουσιάζει ελάχιστο . Αλλά : $\dfrac{1}{f}=x^3+2x+\dfrac{1}{x}$ . Από το α) όμως

είναι : $\dfrac{1}{f}-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}=x^3+2x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}= \left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\left(x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\geq 0$ ,

συνεπώς η $\dfrac{1}{f}$ έχει ελάχιστο το $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$ , όταν : $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , δηλαδή

η

παρουσιάζει μέγιστο , το $\dfrac{9}{16\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{16}$ , όταν : $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2026 8:41 am
β) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^4+2x^2+1} , x>0$ .

.
Aς το δούμε στοιχειωδώς, μόνο με χρήση της ανισότητας Α.Μ.-Γ.Μ.

Θέλουμε το μέγιστο της $A=\dfrac {x}{(x^2+1)^2}$ . Θέτουμε $a= \dfrac {1}{x^2+1}$ , οπότε $x^2=\dfrac {1-a}{a}$ και άρα

$A^2= \dfrac {1-a}{a}\cdot a^4=(1-a)a^3= 27 (1-a) \cdot \dfrac {a}{3}\cdot \dfrac{a}{3}\cdot \dfrac {a}{3}\le 27 \left ( \dfrac {(1-a) + \dfrac {a}{3} + \dfrac{a}{3}+ \dfrac {a}{3}}{4} \right)^4 =$

$=27 \left ( \dfrac {1} {4} \right)^4 = \dfrac {27}{256}$

Άρα $\boxed {A \le \dfrac {3\sqrt 3}{16}}$ με ισότητα όταν $a=\dfrac {3}{4}$ , δηλαδή $x= \dfrac {\sqrt 3}{3}$

Πράξεις και ακρότατο

Πράξεις και ακρότατο

Re: Πράξεις και ακρότατο

Re: Πράξεις και ακρότατο

Re: Πράξεις και ακρότατο

Re: Πράξεις και ακρότατο

Μέλη σε σύνδεση