Ισότητα και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ισότητα και εφαπτομένη.png (6.96 KiB) Προβλήθηκε 2131 φορές

Η πλευρά

του τετραγώνου KLMN

, είναι παράλληλη προς το τμήμα AB=6

και βρίσκεται

σε απόσταση d=2

από αυτό . Οι AK , BL

τέμνονται στο σημείο

, ενώ οι

τέμνονται στο

,

σχηματίζοντας τις γωνίες $\hat{S}$ και $\hat{P}$ . Αν οι γωνίες αυτές είναι ίσες , υπολογίστε την εφαπτομένη τους .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 23, 2025 5:12 pm
Ισότητα και εφαπτομένη.pngΗ πλευρά του τετραγώνου , είναι παράλληλη προς το τμήμα και βρίσκεται

σε απόσταση από αυτό . Οι τέμνονται στο σημείο , ενώ οι τέμνονται στο ,

σχηματίζοντας τις γωνίες $\hat{S}$ και $\hat{P}$ . Αν οι γωνίες αυτές είναι ίσες , υπολογίστε την εφαπτομένη τους .

$NM,KL//AB \Rightarrow \dfrac{PN}{PA}= \dfrac{PM}{PB}= \dfrac{SK}{SA}= \dfrac{SL}{SB}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow M,N,K,L$

μέσα των AP,BP,AS,BS

αντίστοιχα

Έτσι, PS=6

, και $PS \bot KL$ .Άρα το PSLD

είναι ισοσκελές τραπέζιο και το ABLD

παραλ/μμο

Με CD=LE=x

θα ισχύει $\dfrac{x}{x+6}= \dfrac{2}{8} \Rightarrow x=2$ και $\angle ESL=45^0$

$tan(45^0+ \theta )= \dfrac{KE}{SE}= \dfrac{5}{2} \Rightarrow \dfrac{1+tan \theta }{1-tan \theta }= \dfrac{5}{2} \Rightarrow tan \theta = \dfrac{3}{7}$

: ισότητα κι εφαπτομένη.png (32.07 KiB) Προβλήθηκε 2074 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 23, 2025 5:12 pm
Ισότητα και εφαπτομένη.pngΗ πλευρά του τετραγώνου , είναι παράλληλη προς το τμήμα και βρίσκεται

σε απόσταση από αυτό . Οι τέμνονται στο σημείο , ενώ οι τέμνονται στο ,

σχηματίζοντας τις γωνίες $\hat{S}$ και $\hat{P}$ . Αν οι γωνίες αυτές είναι ίσες , υπολογίστε την εφαπτομένη τους .

Μία λύση σε φάκελο Γεωμετρία Β'.

Προφανώς τα K, L, M, N

είναι μέσα των AS, BS, BP, AP,

άρα

και αφού το ABSP

είναι εγγράψιμο σε κύκλο (O, R),

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο με $AB\bot PS.$ Επομένως το τρίγωνο FBS

είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές και με Π. Θ βρίσκω $BS=4\sqrt 2, AS=2\sqrt{29}.$

: Ισότητα και εφαπτομένη.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 2050 φορές

$\displaystyle \frac{1}{2}AB \cdot SF = (ABS) = \frac{{AB \cdot BS \cdot AS}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \sqrt {58}$ και με Π.Θ, OT=7.

Τέλος, $\boxed{\tan \theta = \frac{{AT}}{{OT}} = \frac{3}{7}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 23, 2025 5:12 pm
Ισότητα και εφαπτομένη.pngΗ πλευρά του τετραγώνου , είναι παράλληλη προς το τμήμα και βρίσκεται

σε απόσταση από αυτό . Οι τέμνονται στο σημείο , ενώ οι τέμνονται στο ,

σχηματίζοντας τις γωνίες $\hat{S}$ και $\hat{P}$ . Αν οι γωνίες αυτές είναι ίσες , υπολογίστε την εφαπτομένη τους .

Πρώτα-πρώτα το τετράπλευρο ABSP

είναι εγγράψιμο . Επειδή PS// = 2ML = 6

το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Αν λοιπόν

η τομή των ευθειών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS$ το $\vartriangle HPA$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με κάθετες πλευρές ,

$HA = HP = 10\,\,\kappa \alpha \iota$ υποτείνουσα $AP = \sqrt {200} = 10\sqrt 2$ . Η τετράδα $\left( {N,L\backslash E,H} \right)$ είναι αρμονική και άρα αν EN = k

: Ισότητα κι εφαπτομένη_new.png (29.36 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

θα ισχύει, $\boxed{\frac{{EN}}{{EL}} = \frac{{HN}}{{HL}} \Rightarrow \frac{k}{{3\sqrt 2 - k}} = \frac{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{5}{2}}$ έτσι θα είναι , $\boxed{k = \frac{{15\sqrt 2 }}{7}}$ κι αφού $NP = 5\sqrt 2$ θα προκύψει:

$\boxed{\tan P = \frac{k}{{5\sqrt 2 }} = \frac{3}{7}}$

Ισότητα και εφαπτομένη

Ισότητα και εφαπτομένη

Re: Ισότητα και εφαπτομένη

Re: Ισότητα και εφαπτομένη

Re: Ισότητα και εφαπτομένη

Re: Ισότητα και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση