Τριγωνομετρικό σύστημα με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μια από τις οποίες το σύστημα εξισώσεων

$\cos x = \sin \left ( \sqrt{4-7a^2} \cdot x\right)$

$\sin x = \left ( 3a-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \cos \left ( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right )$

έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα $\left[ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2} \right ]$ .

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 11, 2025 7:18 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες το σύστημα εξισώσεων

$\cos x = \sin \left ( \sqrt{4-7a^2} \cdot x\right)$

$\sin x = \left ( 3a-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \cos \left ( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right )$

έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα $\left[ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2} \right ]$ .

Για την παράμετρο $a \in \mathbb{R}$ , πρέπει:

$\displaystyle{ 4 - 7a^2 \ge 0 \Leftrightarrow a^2 \le \dfrac{4}{7} \Leftrightarrow \boxed{-\dfrac{2\sqrt{7}}{7} \le a \le \dfrac{2\sqrt{7}}{7}} }$
Παρατηρώ ακόμη ότι $0 \le \sqrt{4 - 7a^2} \le 2$ για κάθε επιτρεπόμενη τιμή του

. Το σύστημα στο $\left[ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5 \pi}{2} \right]$ γράφεται:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\cos x = \sin \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \\[0.1in] &\sin x = \left( 3a - \dfrac{1}{2} \right) \cdot \cos \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \end{aligned} \right. &\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &\cos^2 x = \sin^2 \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \\[0.1in] &\sin^2 x = \left( 3a - \dfrac{1}{2} \right)^2 \cdot \cos^2 \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \end{aligned} \right. \\[0.1in] &\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &\sin^2 x = \cos^2 \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \\[0.1in] &\sin^2 x = \left( 3a - \dfrac{1}{2} \right)^2 \cdot \cos^2 \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \end{aligned} \right. \\[0.1in] &\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &\sin^2 x = \cos^2 \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \\[0.1in] &\left( 3a - \dfrac{3}{2} \right)\left( 3a + \dfrac{1}{2} \right) \sin^2 x = 0 \end{aligned} \right. \end{aligned} }$
Αν $a = \dfrac{1}{2}$ ή $a = -\dfrac{1}{6}$ , τότε η δεύτερη εξίσωση του συστήματος επαληθεύεται για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και επομένως αρκεί η πρώτη εξίσωση να έχει μοναδική ρίζα $x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5 \pi}{2} \right]$ , πράγμα που δοκιμάζοντας τις τιμές του

εύκολα διαπιστώνουμε πως είναι άτοπο.

Έτσι $a \notin \left\{ -\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{2} \right\}$ και άρα:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\sin^2 x = \cos^2 \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) \\[0.1in] &\left( 3a - \dfrac{3}{2} \right)\left( 3a + \dfrac{1}{2} \right) \sin^2 x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow &\left\{ \begin{aligned} & \cos \left( \sqrt{4-7a^2} \cdot x \right) = 0 \\[0.1in] &\sin x = 0 \end{aligned} \right. \\[0.1in] \Leftrightarrow &\left\{ \begin{aligned} & \sqrt{4-7a^2} \cdot x = k_1\pi + \dfrac{\pi}{2}, \quad k_1 \in \mathbb{Z} \\[0.1in] &x = k_2\pi, \quad k_2 \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right. \\[0.1in] \overset{\frac{\pi}{2} \; \le \; x \; \le \; \frac{5\pi}{2}}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} &\left\{ \begin{aligned} & \sqrt{4-7a^2} \cdot x = k_1\pi + \dfrac{\pi}{2}, \quad k_1 \in \mathbb{Z} \\[0.1in] &x = \pi \quad \text{\textgreek{ή}} \quad x = 2\pi \end{aligned} \right. \end{aligned} }$
Με άλλα λόγια, δείξαμε ότι για τις τιμές της παραμέτρου

που ικανοποιούν τις υποθέσεις τις εκφώνησης μοναδικές πιθανές λύσεις του αρχικού συστήματος στο δοθέν διάστημα είναι οι $x = \pi$ και $x = 2\pi$ . Εξετάζω την κάθε περίπτωση χωριστά.

Αν $x = \pi$ , τότε από το δοθέν σύστημα προκύπτει:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\cos \pi = \sin \left( \sqrt{4 - 7a^2} \cdot \pi \right) \\[0.1in] &\sin \pi = \left( 3a - \dfrac{1}{2} \right) \cos \left( \sqrt{4 - 7a^2} \cdot \pi \right) \end{aligned} \right. &\overset{0 \; \le \; \sqrt{4 \; - \; 7a^2} \; \cdot \; \pi \; \le \; 2\pi}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} \left\{ \begin{aligned} &\sqrt{4 - 7a^2} \cdot \pi = \dfrac{3\pi}{2} \\[0.1in] &\sqrt{4 - 7a^2} \cdot \pi = \dfrac{3\pi}{2} \quad \text{\textgreek{ή}} \quad \sqrt{4 - 7a^2} \cdot \pi = \dfrac{\pi}{2} \end{aligned} \right. \\[0.1in] &\Leftrightarrow \sqrt{4 - 7a^2} = \dfrac{3}{2} \\[0.1in] &\Leftrightarrow \boxed{a = \pm \dfrac{1}{2}} \end{aligned} }$

Αν $x = 2\pi$ , τότε από το δοθέν σύστημα προκύπτει:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\cos (2\pi) = \sin \left( \sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2 \pi \right) \\[0.1in] &\sin (2\pi) = \left( 3a - \dfrac{1}{2} \right) \cos \left( \sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2\pi \right) \end{aligned} \right. &\overset{0 \; \le \; \sqrt{4 \; - \; 7a^2} \; \cdot \; 2\pi \; \le \; 4\pi}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} \left\{ \begin{aligned} &\sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{\textgreek{ή}} \quad \sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2\pi = \dfrac{5\pi}{2} \\[0.1in] &\sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2\pi \in \left\{ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2} \right\} \end{aligned} \right. \\[0.1in] &\Leftrightarrow \sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{\textgreek{ή}} \quad \sqrt{4 - 7a^2} \cdot 2\pi = \dfrac{5\pi}{2} \\[0.1in] &\Leftrightarrow \boxed{a = \pm \dfrac{3}{4} \quad \text{\textgreek{ή}} \quad a = \pm \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{39}{7}}} \end{aligned} }$

Συναληθεύοντας τις παραπάνω τιμές του

με τους περιορισμούς που τέθηκαν προηγουμένως, προκύπτει τελικά ότι:

$\displaystyle{ a \in \left\{ -\dfrac{3}{4}, -\dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{39}{7}}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{39}{7}}, \dfrac{3}{4} \right\} }$
Μάλιστα, για κάθε μία από τις παραπάνω τιμές του

, διαπιστώνω ότι το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση (είτε τη $x = \pi$ είτε τη $x = 2\pi$ ) στο δοθέν διάστημα.

Al.Koutsouridis · #3

vgreco έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 30, 2025 1:00 pm

Αν $a = \dfrac{1}{2}$ ή $a = -\dfrac{1}{6}$ , τότε η δεύτερη εξίσωση του συστήματος επαληθεύεται για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και επομένως αρκεί η πρώτη εξίσωση να έχει μοναδική ρίζα $x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5 \pi}{2} \right]$ , πράγμα που δοκιμάζοντας τις τιμές του εύκολα διαπιστώνουμε πως είναι άτοπο.

Έτσι $a \notin \left\{ -\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{2} \right\}$ και άρα:

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση του και την όμορφη $\LaTeX$ . Απλά να σημειώσουμε ότι η τιμή $a=-\dfrac{1}{6}$ δίνει και αυτή μοναδική λύση στο σύστημα στο εν λόγω διάστημα. Αφήνεται ως άσκηση.

Τριγωνομετρικό σύστημα με παράμετρο

Τριγωνομετρικό σύστημα με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση