Παραμετρική εξίσωση με λογάριθμο και απόλυτες τιμές

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

$\left | \ln \left ( x^2 \right ) -a \right | - \left | \ln x +2a \right | = \left ( \ln x \right )^2$

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 17, 2023 6:58 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

$\left | \ln \left ( x^2 \right ) -a \right | - \left | \ln x +2a \right | = \left ( \ln x \right )^2$

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.

Γράφοντας $y = \ln x$ , προκύπτει:

$\displaystyle{ \Bigl| \ln \left ( x^2 \right ) -a \Bigr| - \bigl| \ln x + 2a \bigr| = \left ( \ln x \right )^2 \Leftrightarrow |2y - a| - |y + 2a| = y^2 \quad (1) }$

και εύκολα βρίσκω πως η δοθείσα έχει το ίδιο πλήθος λύσεων με την (1)

για οποιαδήποτε τιμή του

. Ακόμη, επειδή η x^2

είναι συμμετρική ως προς τον x'x

και:

$\displaystyle{ |2y - a| - |y + 2a| = \bigl|2(-y) - (-a) \bigr| - \bigl|-y + 2(-a) \bigr| }$

μπορώ, χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσω πως a > 0

(άλλωστε αν a = 0

, η δοθείσα εξίσωση έχει 3 ακριβώς ρίζες).

Αν :

$\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow a - 2y + y + 2a = y^2 \Leftrightarrow y^2 + y - 3a = 0 }$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta = 1 + 12a > 0$ και ρίζες $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 12a}}{2}$ . Η θετική απορρίπτεται. Για να γίνει δεκτή η αρνητική, πρέπει:

$\displaystyle{ \dfrac{-1 - \sqrt{1 + 12a}}{2} < -2a \Leftrightarrow 4a -1 < \sqrt{12a + 1} \Leftrightarrow \ldots \overset{a \; > \; 0}{\Leftarrow \joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} \boxed{0 < a < \dfrac{5}{4} }$
‎
Αν $-2a \le y \le \dfrac{a}{2}$ :

$\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow a - 2y - y - 2a = y^2 \Leftrightarrow y^2 + 3y + a = 0 }$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta = 9 - 4a$ , μη αρνητική όταν $\boxed{0 < a \le \dfrac{9}{4}}$ . Για κάθε μία από τις ρίζες τις εξίσωσης, βρίσκω τη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί το , ώστε η λύση να γίνει δεκτή.

$\displaystyle{ \bullet \; -2a \le \dfrac{-3 + \sqrt{9 - 4a}}{2} \le \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow 3 - 4a \le \sqrt{9 - 4a} \le a + 3 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{0 < a \le \dfrac{9}{4}} }$

$\displaystyle{ \bullet \; -2a \le \dfrac{-3 - \sqrt{9 - 4a}}{2} \le \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow 3 - 4a \le -\sqrt{9 - 4a} \le a + 3 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{5}{4} \le a \le \dfrac{9}{4}} }$
‎
Αν $y > \dfrac{a}{2}$ :

$\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow 2y - a - y - 2a = y^2 \Leftrightarrow y^2 - y + 3a = 0 }$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta = 1 - 12a$ , μη αρνητική όταν $\boxed{0 < a \le \dfrac{1}{12}}$ . Όμοια με παραπάνω:

$\displaystyle{ \bullet \; \dfrac{1 + \sqrt{1 - 12a}}{2} > \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow \sqrt{1 - 12a} > a - 1 \Leftrightarrow \boxed{0 < a \le \dfrac{1}{12}} }$

$\displaystyle{ \bullet \; \dfrac{1 - \sqrt{1 - 12a}}{2} > \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow \sqrt{1 - 12a} < 1 - a \Leftrightarrow \boxed{0 < a \le \dfrac{1}{12}} }$