Συστημική

KARKAR · #1

$\bigstar$ Να λυθεί - στο $\mathbb{R}$ - το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x-y+z & =6 & \\ x^2+y^2-z^2&=20 & \\ xyz& =30 & \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 15, 2023 10:31 am
$\bigstar$ Να λυθεί - στο $\mathbb{R}$ - το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x-y+z & =6 & \\ x^2+y^2-z^2&=20 & \\ xyz& =30 & \end{matrix}\right.$

Το σύστημα γράφεται:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x - y = 6 - z \hfill \\ {(x - y)^2} + 2xy - {z^2} - 20 = 0 \hfill \\ xy = \frac{{30}}{z} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {(6 - z)^2} + \frac{{60}}{z} - {z^2} - 20 = 0 \Leftrightarrow z = 3 \vee z = - \frac{5}{3}$

Για z=3,

είναι $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x - y = 3 \hfill \\ xy = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{{10}}{x} = 3 \hfill \\ xy = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow (x,y) = (5,2)$ ή (x,y)=(-2,-5)

Για $\displaystyle z = - \frac{5}{3}$ το σύστημα δεν έχει πραγματικές λύσεις.

Άρα, τελικά $\boxed{(x,y,z)=(5,2,3)}$ ή $\boxed{(x,y,z)=(-2,-5,3)}$

Συστημική

Συστημική

Re: Συστημική

Μέλη σε σύνδεση