Συνδυαστική ανισότητα

themiskant · #1

Αν είναι $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ , να αποδειχθεί ότι $\ln (\eta \mu \vartheta )+\eta \mu \vartheta <1$

#2

themiskant έγραψε:Αν είναι $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ , να αποδειχθεί ότι $\ln (\eta \mu \vartheta )+\eta \mu \vartheta <1$

Από την ανισότητα $\ln x < \frac{x-1}{x}$ όταν 0<x<1

έχουμε

$\ln (\sin \theta )+\theta < \frac {\sin \theta -1}{\sin \theta } + \sin \theta = 1 - \frac {1-\sin ^2 \theta }{\sin \theta} = 1- \frac {\cos ^2 \theta}{\sin \theta}<1$

Φιλικά,

Μιχάλης

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Μία άλλη προσπάθεια.
$\displaystyle{0 < \theta < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \eta \mu \theta < 1(1) \Rightarrow \ln (\eta \mu \theta ) < 0(2)}$
Μεπρόσθεση κατά μέλη των (1),(2) προκύπτει το ζητούμενο.

Φιλικά Χρήστος

themiskant · #4

Ωραία, αυτή τη λύση είχα στο μυαλό μου

Συνδυαστική ανισότητα

Συνδυαστική ανισότητα

Re: Συνδυαστική ανισότητα

Re: Συνδυαστική ανισότητα

Re: Συνδυαστική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση