Να λυθεί η εξίσωση

kostas136 · #1

Καλησπέρα σε όλους. Να βρεθούν οι $x, y\epsilon R$ αν ισχύει: $x^{2}+2x\cos (xy) +1=0.$

#2

Η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{(x+\cos (xy))^2+\sin^2(xy)=0}$ ,

οπότε πρέπει $\sin (xy)=0$ και $x=-\cos(xy)$ .

Συνεπώς, x^2=1

, που μας δίνει x=1

ή

, κι άρα $y=\pi +2k \pi$ για κάποιο ακέραιο

ή $y=2\lambda \pi$ για κάποιο ακέραιο $\lambda$ ,

αντίστοιχα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Η εξίσωση γράφεται ως $\displaystyle{x^2 +2x \cos (xy)+\cos ^{2}(xy)+\sin ^{2} (xy)=0}$ δηλαδή $\displaystyle{(x+ \cos (xy))^2 +\sin ^{2}(xy)=0.}$
Από εδώ προκύπτει $\displaystyle{\sin (xy)=0}$ και $\displaystyle{x+\cos (xy)=0}$ άρα $\displaystyle{xy=n\pi, n\in Z}$ . Αν

είναι άρτιος, η δευτερη γίνεται x=-1

ενώ αν

περιττός βρίσκουμε x=1

. Άρα τελικά οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι $\displaystyle{(-1,n\pi)}$ με

άρτιο , και οι $\displaystyle{(1,n\pi)}$ με

περιττό.

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #4

Μια ακόμη προσέγγιση :
αν χ = 0 , αδύνατη , άρα χ διαφορετικό του μηδενός.
Αν χ>0 τότε $x+\frac{1}{x}=-2cos\left(xy \right)\geq 2$ άρα $cos\left(xy \right)\g=-1$
Έτσι $x+\frac{1}{x} =2 ...x=1 , xy=y=2k\pi +\pi ,k\epsilon Z$
Αν χ <0,σκεπτόμαστε ανάλογα.

Να λυθεί η εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση

Re: Να λυθεί η εξίσωση

Re: Να λυθεί η εξίσωση

Re: Να λυθεί η εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση