Κατώτερο γινόμενο

KARKAR · #1

Να γραφεί το πολυώνυμο : P(x)=x^5+x-1

, ως γινόμενο δύο πολυωνύμων κατώτερου βαθμού .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 09, 2026 9:21 pm
Να γραφεί το πολυώνυμο : , ως γινόμενο δύο πολυωνύμων κατώτερου βαθμού .

.
Λόγω του σταθερού όρου δοκιμάζουμε τις παραγοντοποιήσεις

α) x^5+x-1=(x^2+ax+1)(x^3+bx^2+cx-1)

ή

β)

Η πρώτη δίνει

x^5+x-1=x^5+(a+b)x^4 +(ab+c+1)x^3+(ac+b-1)x^2+(c-a)x-1

που με σύγκριση συντελεστών δίνει

$a+b=0, \, ab+c+1=0, \, ac+b-1=0, \, c-a=1$ .

Η πρώτη και η τελευταία δίνουν $b=-a, \, c=a+1$ που με αντικατάσταση στις άλλες δύο δίνουν αντίστοιχα

-a^2+a+2=0

και

που με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει a=-1

. Με την σειρά του δίνει $b=1, \, c=0$

Ελέγχουμε λοιπόν αν ισχύει $\boxed {x^5+x-1=(x^2-x+1)(x^3+x^2-1)}$ . Ανοίγοντας τις παρενθέσεις θα διαπιστώσουμε ότι είναι σωστή, οπότε είναι η παραγοντοποίηση που ψάχνουμε.

Aν δουλεύαμε με την δεύτερη θα βρίσκαμε

x^5+x-1=x^5+(a+b)x^4 +(ab+c-1)x^3+(ac-b+1)x^2+(-c+a)x-1

, οπότε

$a+b=0, \, ab+c-1=0, \, ac-b+1=0, \, -c+a=1$ . Άρα $b=-a, \, c=a-1$ οπότε και -a^2+a-2=0

και

. H τελευταία είναι αδύνατη, και η διαδικασία σταματάει εδώ.

#3

#4

xr.tsif έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2026 7:49 pm

Χρήστο, σωστότατη η λύση σου αλλά νομίζω ότι δεν είναι δόκιμη για τον απλούστατο λόγο ότι δεν αιτιολογεί πώς σκεφθήκαμε να κάνουμε τις προσθαφαιρέσεις των όρων. Δείχνει ως προθύστερη, δηλαδή γνωρίζουμε την παραγοντοποίηση και απλά την γράφουμε ανάποδα με ένα ενδιαμέσο βήμα.

Φυσικά έχω υπόψη την λύση σου, και θα μπορούσα να την έγραφα ο ίδιος, αλλά προτίμησα την αιτιολόγιση για να μην φαίνονται αυθαίρετα τα βήματα. Στο κάτω κάτω μπορούσα να γράψω απευθείας x^5+x-1= (x^3+x^2-1)(x^2-x+1)

, και κανείς δεν θα έλεγε τίποτα.

Κατώτερο γινόμενο

Κατώτερο γινόμενο

Re: Κατώτερο γινόμενο

Re: Κατώτερο γινόμενο

Re: Κατώτερο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση