Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιές τιμές της παραμέτρου $a \geq 1$ η εξίσωση

$\sin \left ( \dfrac{4x}{13} \right ) \cdot \tan x = 0$

έχει ακριβώς έξι διαφορετικές ρίζες στο διάστημα $\left [ 2a \pi , \left ( a^2+1 \right ) \pi \right ]$ ;

Υποδείξτε αυτές τις λύσεις.

Chagi · #2

Καλησπέρα σας. Θα ήθελα λίγη καθοδήγηση αν γίνεται.

Βρήκα τις ρίζες της εξίσωσης αλλά δεν ξέρω πώς να συνεχίσω.

Καμιά ιδέα;

Σας ευχαριστώ.

Al.Koutsouridis · #3

Γενική ιδέα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Chagi · #4

Γεια σας και πάλι και σας ευχαριστώ για τις συμβουλές.

Στην άσκηση τώρα:

Αρχικά στη δοσμένη εξίσωση πρέπει να λάβουμε υπόψιν τους περιορισμούς.

Συγκεκριμένα πρέπει $\cos(x)\neq0 \Rightarrow x\neq k\pi+\frac{\pi}{2} , k\in Z$

Έχουμε: $\sin\left(\dfrac{4x}{13}\right)\cdot\tan(x)=0$

Η εξίσωση αυτή έχει τις εξής λύσεις:

$(1)\rightarrow$ $x=k_1\pi$

$(2)\rightarrow$ $x=\frac{13k_2\pi}{2}$ Στη συγκεκριμένη μορφή όμως παρατηρούμε ότι αν $k_2=2n+1,n\in Z$

τότε το $\cos(x)$ μηδενίζεται. Επομένως αυτή τη λύση τη δεχόμαστε μόνο για ζυγούς αριθμούς k_2

και άρα μπορούμε να τη μετασχηματίσουμε

στη μορφή $x=13k_2\pi$ με $k_2=2n, n\in Z$

$(3)\rightarrow$ $x=\frac{13\pi(2k_3+1)}{4}$

Φυσικά σε όλες αυτές τις λύσεις $k_1,k_2,k_3 \in Z$

Τώρα μας μένει να βρούμε σε ποιο διάστημα της μορφής $\left [ 2a \pi , \left ( a^2+1 \right ) \pi \right ]$ η εξίσωση έχει ακριβώς έξι διαφορετικές ρίζες.

Δοκιμάζοντας διάφορες τιμές για το

παρατηρούμε ότι ήδη από την τιμή a=4

οι ρίζες είναι περισσότερες από έξι.

Επιπλέον για a=2

οι διαφορετικές ρίζες είναι μόλις

.

Συνεπώς με τις δοκιμές αυτές περιορίζουμε το

στο διάστημα 2<a<4

Για $a=\frac{5}{2}$ η εξίσωση παρουσιάζει

διαφορετικές ρίζες στο αντίστοιχο διάστημα, ενώ για $a=\frac{7}{2}$ η εξίσωση παρουσιάζει περισσότερες από έξι ρίζες.

Ας δούμε τι γίνεται όταν $\frac{5}{2}<a<3$

$2a\pi<6\pi$ και $\frac{29}{4}\pi<(a^2+1)\pi<10\pi$

Με δοκιμή βρίσκουμε ότι στο διάστημα αυτό η εξίσωση παίρνει το πολύ πέντε διαφορετικές τιμές τις $6\pi,7\pi,8\pi,9\pi,\frac{39\pi}{4}$

Αν a=3

τότε $6\pi\leq x \leq 10\pi$ στο οποίο η εξίσωση έχει όντως έξι διαφορετικές ρίζες τις:

$x=6\pi,x=7\pi, x=8\pi, x=9\pi, x=10\pi, x=\frac{39\pi}{4}$

Ωστόσο μένει να ελέγξουμε τι γίνεται όταν $3<x<\frac{7}{2}$

Παρατήρησα ότι για $3<x<\sqrt{10}$ υπάρχουν πέντε διαφορετικές λύσεις.

Για $x=\sqrt{10}$ υπάρχουν ακριβώς έξι οι:

$x=7\pi, x=8\pi, x=9\pi, x=10\pi, x=11\pi, x=\frac{39\pi}{4}$

Τέλος έξι διαφορετικές ρίζες υπάρχουν και αν $\sqrt{10}<a<\sqrt{11}$ , οι ίδιες με πριν.

Για $a>\sqrt{11}$ οι ρίζες αυξάνονται πάνω από το επιθυμητό.

Επομένως αν όλα αυτά είναι σωστά οι ζητούμενες τιμές του

είναι:

$a=3, \sqrt{10}\leq a<\sqrt{11}$

Σε περίπτωση που έχω κάνει λάθος συγγνώμη αν έγινα κουραστικός.

Al.Koutsouridis · #5

Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Μέλη σε σύνδεση