Θα μπορούσε και σχολική

#1

: Θα μπορούσε και σχολική.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 1591 φορές

είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC

και

είναι ένα από τα σημεία τομής της

με τον περίκυκλο του τριγώνου. Αν οι BP, DF

τένμνονται στο

να δείξετε ότι AP=AQ.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Το τετράπλευρο APBC

είναι εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τριγώνου ABC

. Επομένως, ισχύει: $A\widehat{P}Q=\widehat{C}$ .

Ας είναι

το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

. Τότε, το τετράπλευρο HECD

είναι εγγράψιμο, άρα: $B\widehat{H}D=\widehat{C}$ .

Ταυτόχρονα, το τετράπλευρο FHDB

είναι εγγράψιμο. Συνεπώς: $B\widehat{F}D=B\widehat{H}D=\widehat{C}$ .

Προφανώς είναι: $Q\widehat{F}A=B\widehat{F}D=\widehat{C}$ . Όμως, προκύπτει $A\widehat{P}Q=Q\widehat{F}A=\widehat{C}$ και άρα το τετράπλευρο PQAF

είναι εγγράψιμο.

Εύκολα διαπιστώνουμε πως και το τετράπλευρο FECB

είναι εγγράψιμο. Επομένως, $A\widehat{F}E=\widehat{C}$ . Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου PFAQ

προκύπτει: $P\widehat{Q}A=A\widehat{F}E=\widehat{C}$

Τελικά, παρατηρούμε πως: $A\widehat{Q}P=A\widehat{P}Q=\widehat{C}$ , άρα το τρίγωνο APQ

είναι ισοσκελές, οπότε: AP=AQ

Παναγιώτης Μουρούκος · #3

Αρκεί να δείξουμε ότι $A\hat{P}Q=A\hat{Q}P$ .

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο APBC

, έχουμε ότι $A\hat{P}Q=A\hat{C}B=\omega$ .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο BFEC

, έχουμε ότι $A\hat{F}E=A\hat{C}B=\omega$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο AQPF

είναι εγγράψιμο, γιατί τότε θα ισχύει: $A\hat{Q}P=A\hat{F}E=\omega$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι $A\hat{P}Q=A\hat{F}Q=\omega$ , δηλαδή ότι $B\hat{F}D=\omega$ .

Αν

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

, από το εγγράψιμο τετράπλευρο BFHD

έχουμε ότι $B\hat{F}D=B\hat{H}D=A\hat{C}B=\omega$ (ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές) και το ζητούμενο δείχτηκε.

#4

Ευχαριστώ τον Φίλιππο και τον Παναγιώτη για τις λύσεις τους.

Πιστεύετε ότι η άσκηση αυτή είναι επιπέδου IMO shortlist;

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #5

Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.

#6

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 20, 2022 2:58 pm
Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.

Μια χαρά την αξιολόγησες. Κι όμως είναι από 2010 IMO Shortlist!

cool geometry · #7

$\angle ADC=\angle AFC\Rightarrow ACDF$ εγγράψιμο , άρα $\angle BFD=\angle ACB=\angle QFA(1)$
APBC

εγγράψιμο, άρα $\angle ACB=\angle QPA(2)$
$(1),(2)\Rightarrow \angle QFA=\angle QPA$ , άρα $\angle AQP=\angle AFE=\angle ACB$ ( από εγγράψιμο FECB

)
επομένως $\angle AQP=\angle APQ$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Θα μπορούσε και σχολική

Θα μπορούσε και σχολική

Re: Θα μπορούσε και σχολική

Re: Θα μπορούσε και σχολική

Re: Θα μπορούσε και σχολική

Re: Θα μπορούσε και σχολική

Re: Θα μπορούσε και σχολική

Re: Θα μπορούσε και σχολική

Μέλη σε σύνδεση