Εγγράψιμο μέσω επαφών

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8949
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εγγράψιμο μέσω επαφών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 25, 2017 10:01 am

Εγγράψιμο μέσω έπαφών.png
Εγγράψιμο μέσω έπαφών.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές
AD είναι η διχοτόμος τριγώνου ABC και επί των πλευρών του AB, AC θεωρώ τα σημεία E, 
 Z αντίστοιχα, ώστε

BC=BE+CZ. Αν D είναι το A-παράκεντρο του τριγώνου AEZ, να δείξετε ότι το BCZE είναι εγγράψιμο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1596
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εγγράψιμο μέσω επαφών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Απρ 25, 2017 8:05 pm

george visvikis έγραψε:
Εγγράψιμο μέσω έπαφών.png
AD είναι η διχοτόμος τριγώνου ABC και επί των πλευρών του AB, AC θεωρώ τα σημεία E, 
 Z αντίστοιχα, ώστε

BC=BE+CZ. Αν D είναι το A-παράκεντρο του τριγώνου AEZ, να δείξετε ότι το BCZE είναι εγγράψιμο.

Παίρνουμε σημείο H στην πλευρά BC ώστε BE=BH.

Τότε, BE+ZC=BC=BH+HC=BE+HC, άρα CH=CZ.

Από τα ισοσκελή \triangle BHE, \, \triangle ZHC, έχουμε \widehat{BHE}=90^0-\dfrac{\widehat{B}}{2}, \, \widehat{CHZ}=90^0-\dfrac{\widehat{C}}{2}.

Έτσι, \displaystyle \widehat{EHZ}=180^0-\widehat{BHE}-\widehat{CHZ}=180^0-(90^0-\dfrac{\widehat{C}}{2}+90^0-\dfrac{\widehat{B}}{2})=
\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}, οπότε \widehat{EHZ}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2} (1).

Επίσης, Το D είναι το A - παράκεντρο του AEZ, οπότε εύκολα με γωνίες \widehat{EDZ}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2} (2).

Από (1), (2) , \widehat{EHZ}=\widehat{EDZ}, άρα το EHDZ είναι εγγράψιμο, οπότε \widehat{ZED}=\widehat{ZHC} \mathop = 
 \limits^{\textnormal{\gr ισοσκελές \en ZHC}} 90^0- \dfrac{\widehat{C}}{2}.

Άρα, \widehat{BED}=\widehat{ZED}=90^0-\dfrac{\widehat{C}}{2}, οπότε \widehat{ZEB}=2\widehat{ZED}=180^0-\widehat{C}, συνεπώς \widehat{ZEB}+\widehat{C}=180^0.

Από την τελευταία σχέση, το ζητούμενο είναι άμεσο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7028
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο μέσω επαφών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 25, 2017 9:30 pm

Εγγράψιμο μέσω επαφών.png
Εγγράψιμο μέσω επαφών.png (38.26 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
Μάλλον με πρόλαβε ο Ορέστης :clap2: με ίδια λύση

Αφήνω για την ώρα το σχήμα αν έχω κάτι διαφορετικό θα γράψω.

Τελικά Το "ξεκλείδωμα" είναι το ίδιο .

Ας είναι T σημείο της BC με \boxed{BT = BE \Rightarrow CT = CZ}. Κάθε μια από τις γωνίες

\widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}} είναι ίση με 90^\circ  - \dfrac{{\widehat A}}{2} άρα το τετράπλευρο ETDZ είναι εγγράψιμο και έτσι \widehat {{a_3}} = \dfrac{{\widehat {EZC}}}{2} = \widehat \theta  \Rightarrow 2\widehat {{a_3}} = 2\widehat \theta  \Rightarrow 180^\circ  - \widehat B = 180 - \widehat {AZE} \Rightarrow \boxed{\widehat B = \widehat {AZE}} που μας

εξασφαλίζει το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης