Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Μία ενδιαφέρουσα άσκηση που βρήκα στο Facebook δημοσιευμένη στις 22 / 11 / 2015 από τον Αντώνη Κυριακόπουλο.
Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και έχουν ίσες περιμέτρους. Να αποδείξετε ότι:
Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και έχουν ίσες περιμέτρους. Να αποδείξετε ότι:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13312
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Καλημέρα.ghan έγραψε:Μία ενδιαφέρουσα άσκηση που βρήκα στο Facebook δημοσιευμένη στις 22 / 11 / 2015 από τον Αντώνη Κυριακόπουλο.
Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και έχουν ίσες περιμέτρους. Να αποδείξετε ότι:
Έστω ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που εφάπτεται στις στα σημεία αντίστοιχα, και η κοινή ημιπερίμετρος των δύο τριγώνων. Είναι , οπότε ο είναι ο παρεγγεγραμμένος κύκλος και του τριγώνου και έστω το σημείο επαφής του με την .
και επειδή , θα είναι:
Re: Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Ευχαριστώ τον κύριο Γιώργο Βισβίκη για την ευφυέστατη λύση του.george visvikis έγραψε:Καλημέρα.ghan έγραψε:Μία ενδιαφέρουσα άσκηση που βρήκα στο Facebook δημοσιευμένη στις 22 / 11 / 2015 από τον Αντώνη Κυριακόπουλο.
Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και έχουν ίσες περιμέτρους. Να αποδείξετε ότι:
Έστω ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που εφάπτεται στις στα σημεία αντίστοιχα, και η κοινή ημιπερίμετρος των δύο τριγώνων. Είναι , οπότε ο είναι ο παρεγγεγραμμένος κύκλος και του τριγώνου και έστω το σημείο επαφής του με την .
και επειδή , θα είναι:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Γιώργο, κάπου το είχα δει λυμένο αυτό το πρόβλημα σε ένα αγγλικό βιβλίο διαγωνισμών , αλλά δεν θυμάμαι να είχε τόσο καλή λύση.george visvikis έγραψε:Καλημέρα.ghan έγραψε:Μία ενδιαφέρουσα άσκηση που βρήκα στο Facebook δημοσιευμένη στις 22 / 11 / 2015 από τον Αντώνη Κυριακόπουλο.
Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και έχουν ίσες περιμέτρους. Να αποδείξετε ότι:
Έστω ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που εφάπτεται στις στα σημεία αντίστοιχα, και η κοινή ημιπερίμετρος των δύο τριγώνων. Είναι , οπότε ο είναι ο παρεγγεγραμμένος κύκλος και του τριγώνου και έστω το σημείο επαφής του με την .
και επειδή , θα είναι:
Σε ευχαριστώ και γω με τη σειρά μου !
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13312
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Να ευχαριστήσω τον ghan και το Μπάμπη για τα καλά τους λόγια.
Στο φροντιστήριο, είχα την τύχη να είμαι μαθητής ενός καταπληκτικού Γεωμέτρη (πρώην καθηγητή του ΕΜΠ), ο οποίος μεταξύ άλλων μας είχε πει: "Όταν ακούτε για περίμετρο τριγώνου, να γράφετε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο".
Στο φροντιστήριο, είχα την τύχη να είμαι μαθητής ενός καταπληκτικού Γεωμέτρη (πρώην καθηγητή του ΕΜΠ), ο οποίος μεταξύ άλλων μας είχε πει: "Όταν ακούτε για περίμετρο τριγώνου, να γράφετε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο".
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Το πρόβλημα αυτό έρχεται από το παρελθόν. Στο βιβλίο Γεωμετρίας Ιησουϊτών (*), σελίδα 333, υπάρχει ως θεώρημα 157, η ακόλουθη πρόταση με αναφορά στον Steiner και χρονολογία 1846.
Σε κάθε παρεγγράψιμο τετράπλευρο, η διαφορά δύο απέναντι πλευρών του είναι ίση με την διαφορά των δύο άλλων.
Σε συνδυασμό με το θεώρημα 158 τώρα, στην σελίδα 334, ισχύει και το αντίστροφο.
Εάν σε ένα τετράπλευρο η διαφορά δύο πλευρών του είναι ίση με την διαφορά των δύο άλλων, τότε το τετράπλευρο είναι παρεγγράψιμο.
Έχουμε δηλαδή τις ίσες διαφορές των απέναντι πλευρών ως κριτήριο παρεγγραψιμότητας ενός τετραπλεύρου, όπως έχουμε τα ίσα αθροίσματα των απέναντι πλευρών, ως κριτήριο περιγραψιμότητας .
Η απόδειξη του αντίστροφου για το παρεγγράψιμο τετράπλευρο είναι εύκολη.
Πράγματι, στο σχήμα του Γιώργου πιο πάνω, έστω ότι ο -παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο και έστω ότι η δια του σημείου εφαπτομένη του ιδίου κύκλου, τέμνει τις , στα σημεία , αντιστοίχως και ας είναι το μεταξύ των οπότε το θα είναι μεταξύ των .
Από το παρεγγράψιμο τεράπλευρο έχουμε
Από και που θεωρείται ότι ισχύει στο τετράπλευρο , προκύπτει ότι
Από και άρα, η εφάπτεται στον -παρεγγεγραμμένο κύκλο του και το τετράπλευρο είναι παρεγγράψιμο.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Εύκολα τώρα η εκφώνηση αλλάζει μορφή στο γνωστό αυτό πρόβλημα από το παρελθόν, αφού από στο σχήμα του Γιώργου προκύπτει ως άμεσο αποτέλεσμα ότι τα τρίγωνα είναι ισοπεριμετρικά.
Με αρκετή έμπνευση επίσης, η εκφώνηση παίρνει την μορφή που έχει δοθεί Εδώ , αφού από .
Σε κάθε παρεγγράψιμο τετράπλευρο, η διαφορά δύο απέναντι πλευρών του είναι ίση με την διαφορά των δύο άλλων.
Σε συνδυασμό με το θεώρημα 158 τώρα, στην σελίδα 334, ισχύει και το αντίστροφο.
Εάν σε ένα τετράπλευρο η διαφορά δύο πλευρών του είναι ίση με την διαφορά των δύο άλλων, τότε το τετράπλευρο είναι παρεγγράψιμο.
Έχουμε δηλαδή τις ίσες διαφορές των απέναντι πλευρών ως κριτήριο παρεγγραψιμότητας ενός τετραπλεύρου, όπως έχουμε τα ίσα αθροίσματα των απέναντι πλευρών, ως κριτήριο περιγραψιμότητας .
Η απόδειξη του αντίστροφου για το παρεγγράψιμο τετράπλευρο είναι εύκολη.
Πράγματι, στο σχήμα του Γιώργου πιο πάνω, έστω ότι ο -παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο και έστω ότι η δια του σημείου εφαπτομένη του ιδίου κύκλου, τέμνει τις , στα σημεία , αντιστοίχως και ας είναι το μεταξύ των οπότε το θα είναι μεταξύ των .
Από το παρεγγράψιμο τεράπλευρο έχουμε
Από και που θεωρείται ότι ισχύει στο τετράπλευρο , προκύπτει ότι
Από και άρα, η εφάπτεται στον -παρεγγεγραμμένο κύκλο του και το τετράπλευρο είναι παρεγγράψιμο.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Εύκολα τώρα η εκφώνηση αλλάζει μορφή στο γνωστό αυτό πρόβλημα από το παρελθόν, αφού από στο σχήμα του Γιώργου προκύπτει ως άμεσο αποτέλεσμα ότι τα τρίγωνα είναι ισοπεριμετρικά.
Με αρκετή έμπνευση επίσης, η εκφώνηση παίρνει την μορφή που έχει δοθεί Εδώ , αφού από .
Re: Δύο Ισοπεριμετρικά τρίγωνα
Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Βήτα που μου θύμισε το τέταρτο θέμα Γεωμετρίας (εδώ) που είχε τεθεί το στη ΣΜΑ και βασιζόταν σ’ αυτήν ακριβώς την ιδιότητα των παρεγγράψιμων τετραπλεύρων και μάλιστα κυρτών ή μη κυρτών.vittasko έγραψε: Το πρόβλημα αυτό έρχεται από το παρελθόν. Στο βιβλίο Γεωμετρίας Ιησουϊτών (*), σελίδα 333, υπάρχει ως θεώρημα 157, η ακόλουθη πρόταση με αναφορά στον Steiner και χρονολογία 1846.
Σε κάθε παρεγγράψιμο τετράπλευρο, η διαφορά δύο απέναντι πλευρών του είναι ίση με την διαφορά των δύο άλλων.
Σε συνδυασμό με το θεώρημα 158 τώρα, στην σελίδα 334, ισχύει και το αντίστροφο.
Εάν σε ένα τετράπλευρο η διαφορά δύο πλευρών του είναι ίση με την διαφορά των δύο άλλων, τότε το τετράπλευρο είναι παρεγγράψιμο.
Έχουμε δηλαδή τις ίσες διαφορές των απέναντι πλευρών ως κριτήριο παρεγγραψιμότητας ενός τετραπλεύρου, όπως έχουμε τα ίσα αθροίσματα των απέναντι πλευρών, ως κριτήριο περιγραψιμότητας .
Η απόδειξη του αντίστροφου για το παρεγγράψιμο τετράπλευρο είναι εύκολη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης