Πλούσιο τραπέζιο

KARKAR · #1

: Πλούσιο τραπέζιο.png (25.64 KiB) Προβλήθηκε 1491 φορές

Βρείτε συνθήκη στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, ικανή να του προσδώσει την εξής ιδιότητα : Για το μέσο

της κάθετης από τις μη παράλληλες πλευρές

, να έχουμε $AM \perp BM$ . Αν

το σημείο τομής

των διαγωνίων του και : $OE \parallel DA$ , δείξτε ότι ισχύουν επίσης : $CE \perp DE$ και $ME \perp AB$ .

Η άσκηση δημιουργήθηκε ( προφανώς ! ) με αφορμή αυτή .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 24, 2024 11:52 am
Πλούσιο τραπέζιο.pngΒρείτε συνθήκη στο ορθογώνιο τραπέζιο , ικανή να του προσδώσει την εξής ιδιότητα : Για το μέσο της κάθετης από τις μη παράλληλες πλευρές , να έχουμε $AM \perp BM$ . Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του και : $OE \parallel DA$ , δείξτε ότι ισχύουν επίσης : $CE \perp DE$ και $ME \perp AB$ .

Η άσκηση δημιουργήθηκε ( προφανώς ! ) με αφορμή αυτή .

Για να είναι $BM\bot AB$ πρέπει και αρκεί η διάμεσος του τραπεζίου (ως διάμεσος και του ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle AMB$ να είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας του εν λόγω τριγώνου, δηλαδή $MN=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow AD+BC=AB:\left( 1 \right)$ , με

το μέσο της

Από $OE\parallel DA\Rightarrow \dfrac{EB}{EA}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{BC}{AD}\Rightarrow \dfrac{EB}{EA+EB}=$ $\dfrac{BC}{BC+AD}\Rightarrow \dfrac{EB}{\cancel{AB}}=\dfrac{BC}{\cancel{BC+AD}}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,EB=BC$ οπότε και AE=AD

Τα ισοσκελή πλέον τρίγωνα $\vartriangle BCE,\vartriangle AED$ έχουν γωνίες «κορυφών» παραπληρωματικές (από $BC\parallel AD$ και συνεπώς οι γωνίες τω βάσεων τους θα είναι συμπληρωματικές, άρα $\angle BEC+\angle AED=90\overset{A,E,B\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle CED={{90}^{0}}\Rightarrow ED\bot ED$
Προφανώς τα τετράπλευρα BCME,ADME

είναι χαρταετοί , οπότε θα έχουν ίσες τις γωνίες που περιέχονται στις ίσες πλευρές τους , άρα $\angle MEA=\angle MDA={{90}^{0}}\Rightarrow ME\bot AB$

Πλούσιο τραπέζιο

Πλούσιο τραπέζιο

Re: Πλούσιο τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση