Εγγράψιμο μέσω επαφών

#1

: Εγγράψιμο μέσω έπαφών.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές

είναι η διχοτόμος τριγώνου ABC

και επί των πλευρών του AB, AC

θεωρώ τα σημεία E,
Z

αντίστοιχα, ώστε

BC=BE+CZ.

Αν

είναι το

παράκεντρο του τριγώνου AEZ,

να δείξετε ότι το BCZE

είναι εγγράψιμο.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε:
Εγγράψιμο μέσω έπαφών.png
είναι η διχοτόμος τριγώνου και επί των πλευρών του θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα, ώστε

Αν είναι το παράκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.

Παίρνουμε σημείο

στην πλευρά

ώστε

.

Τότε, BE+ZC=BC=BH+HC=BE+HC

, άρα

.

Από τα ισοσκελή $\triangle BHE, \, \triangle ZHC$ , έχουμε $\widehat{BHE}=90^0-\dfrac{\widehat{B}}{2}, \, \widehat{CHZ}=90^0-\dfrac{\widehat{C}}{2}$ .

Έτσι, $\displaystyle \widehat{EHZ}=180^0-\widehat{BHE}-\widehat{CHZ}=180^0-(90^0-\dfrac{\widehat{C}}{2}+90^0-\dfrac{\widehat{B}}{2})=$
$\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}$ , οπότε $\widehat{EHZ}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}$ (1).

Επίσης, Το

είναι το

- παράκεντρο του AEZ

, οπότε εύκολα με γωνίες $\widehat{EDZ}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}$ (2).

Από (1), (2) , $\widehat{EHZ}=\widehat{EDZ}$ , άρα το EHDZ

είναι εγγράψιμο, οπότε $\widehat{ZED}=\widehat{ZHC} \mathop = \limits^{\textnormal{\gr ισοσκελές \en ZHC}} 90^0- \dfrac{\widehat{C}}{2}$ .

Άρα, $\widehat{BED}=\widehat{ZED}=90^0-\dfrac{\widehat{C}}{2}$ , οπότε $\widehat{ZEB}=2\widehat{ZED}=180^0-\widehat{C}$ , συνεπώς $\widehat{ZEB}+\widehat{C}=180^0$ .

Από την τελευταία σχέση, το ζητούμενο είναι άμεσο.

#3

: Εγγράψιμο μέσω επαφών.png (38.26 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Μάλλον με πρόλαβε ο Ορέστης

με ίδια λύση

Αφήνω για την ώρα το σχήμα αν έχω κάτι διαφορετικό θα γράψω.

Τελικά Το "ξεκλείδωμα" είναι το ίδιο .

Ας είναι

σημείο της

με $\boxed{BT = BE \Rightarrow CT = CZ}$ . Κάθε μια από τις γωνίες

$\widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}}$ είναι ίση με $90^\circ - \dfrac{{\widehat A}}{2}$ άρα το τετράπλευρο ETDZ

είναι εγγράψιμο και έτσι $\widehat {{a_3}} = \dfrac{{\widehat {EZC}}}{2} = \widehat \theta \Rightarrow 2\widehat {{a_3}} = 2\widehat \theta \Rightarrow 180^\circ - \widehat B = 180 - \widehat {AZE} \Rightarrow \boxed{\widehat B = \widehat {AZE}}$ που μας

εξασφαλίζει το ζητούμενο

Εγγράψιμο μέσω επαφών

Εγγράψιμο μέσω επαφών

Re: Εγγράψιμο μέσω επαφών

Re: Εγγράψιμο μέσω επαφών

Μέλη σε σύνδεση