ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Pellumbi · #1

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του

. Επειδή με ενθουσίασαν οι ανισοτικές σχέσεις στην Γεωμετρία και επειδή λατρεύω την Γεωμετρία, ήθελα να βάλω μία άσκηση.
Έστω τρίγωνο ABC

και διάμεσος $AM=\mu _{\alpha }$ . Να αποδειχθεί ότι α) $\mu_{\alpha }> \frac{\beta+\gamma -\alpha }{2}$
β) $\mu _{\alpha }+\mu _{\beta }+\mu _{\gamma }> \tau$ , όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Ευχαριστώ τους Γενικούς συντονιστές για τις διορθώσεις

#2

Στο τρίγωνο $\displaystyle{AM \Gamma}$ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι:
$\displaystyle{A \Gamma < AM + M \Gamma (I)}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{AMB}$ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι:
$\displaystyle{AB < AM + MB (II)}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (I), (II)

προκύπτει:
$\displaystyle{A \Gamma + AB < 2AM + B\Gamma \Leftrightarrow \beta + \gamma - a < 2\mu_a}$ .

Η παραπάνω σχέση ισχύει κυκλικά, δηλαδή ισχύουν οι
$\displaystyle{\beta + \gamma - a < 2\mu_a}$
$\displaystyle{a + \gamma - \beta < 2\mu_{\beta}}$
$\displaystyle{\beta + a - \gamma < 2\mu_{\gamma}}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
$\displaystyle{ a+\beta +\gamma <2(\mu_{a}+\mu_{\beta}+\mu_{\gamma}) \Leftrightarrow \tau <\mu_{a}+\mu_{\beta}+\mu_{\gamma}}$ .

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση