Τετράγωνο μυαλό

KARKAR · #1

: Τετράγωνο μυαλό.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

$\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά

, ενός τετραγώνου ABCD

, κατά τμήμα

, ίσο

με την διαγώνιο

και την διαγώνιο

κατά τμήμα

, ίσο με την πλευρά

.

Δείξτε ότι τα τμήματα ST , DT

είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

Nikitas K. · #2

Καλημέρα,...

Στο σχήμα του κ. Θανάση:

Το ευθύγραμμο τμήμα

είναι διαγώνιος του τετραγώνου ABCD

οπότε διχοτομεί την ορθή $\angle A$ και την ορθή $\angle C$ άρα η:

$\angle BAC = 45^\circ ~\color{blue} *$ και

$\angle DCA = 45^\circ ~\color{blue} **$

Το $\triangle ATS$ είναι ισοσκελές, (αφού AT =AS

μέσω του αθροίσματος AC + CT = AB + BS

) άρα $\angle ATS = \angle AST ~ \color{green} ***$

Το άθροισμα των γωνιών του $\triangle ATS$ είναι $180^\circ$ άρα $\angle ATS \underset{{\color{green} ***}} { \overset{ {\color{blue} *} } {=} } 67,5^\circ ~\color{red} (0)$

Το $\triangle DCT$ είναι ισοσκελές, (αφού CD = CT

μέσω της πλευράς

) άρα $\angle CTD = \angle CDT ~\color{green} ****$

Η $\angle DCA$ είναι εξωτερική του $\triangle DCT$ άρα $\angle CTD \underset{{\color{green} ****}}{\overset{{\color{blue}**}}{=}}22,5^\circ ~ \color{red} (1)$

Προφανώς, λόγω των σχέσεων $\color{red} (0)$ και $\color{red} (1)$ η $\angle DTS$ είναι ορθή, επομένως $ST \perp DT$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 6:07 am
Τετράγωνο μυαλό.png $\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά , ενός τετραγώνου , κατά τμήμα , ίσο

με την διαγώνιο και την διαγώνιο κατά τμήμα , ίσο με την πλευρά .

Δείξτε ότι τα τμήματα είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

.

: Τετράγωνο μυαλό_new.png (28.04 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

.
$\vartriangle TDB = \vartriangle TBS$ ( $BD = BS\,\,,\,\,BT = BT,\,\,\widehat {TBD} = \widehat {TBS} = 67,5^\circ$ ) κατά συνέπεια ,

$TD = TB = TS\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DTS} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 6:07 am
Τετράγωνο μυαλό.png $\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά , ενός τετραγώνου , κατά τμήμα , ίσο

με την διαγώνιο και την διαγώνιο κατά τμήμα , ίσο με την πλευρά .

Δείξτε ότι τα τμήματα είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

.

: Τετράγωνο μυαλό_ok.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

.
α) Στο ισοσκελές $\vartriangle AST$ , με γωνία στην κορυφή $45^\circ$ φέρνω τη διάμεσο

που είναι διχοτόμος και ύψος .

Οπότε , $\widehat {MAT} = 22,5^\circ$ . Όμως και στο ισοσκελές $\vartriangle CTD$ με γωνία της κορυφής του $135^\circ$ ,

η κάθε μια από τις γωνίες της βάσης του είναι από $22,5^\circ$ , συνεπώς DT//AM

άρα και η $DT \bot TS$ .

β) Αφού τώρα το τετράπλευρο ASTD

είναι εγγράψιμο ,
.

: Τετράγωνο μυαλό_ok_all.png (28.87 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

.
Η διάμετρος του είναι η

γιατί έχει απέναντί της ορθές γωνίες . Έστω

το κέντρο του κύκλου .

Το

είναι το σημείο τομής της διαμέτρου

με την

γιατί ,η

μεσοκάθετος στη χορδή

Η εγγεγραμμένη γωνία , $\widehat {TSD} = \widehat {TAD} = 45^\circ$ . Άρα το $\vartriangle TDS$ να είναι και ισοσκελές .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 6:07 am
Τετράγωνο μυαλό.png $\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά , ενός τετραγώνου , κατά τμήμα , ίσο

με την διαγώνιο και την διαγώνιο κατά τμήμα , ίσο με την πλευρά .

Δείξτε ότι τα τμήματα είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

Κάτι παρόμοιο (έτσι κι αλλιώς, δεν υπάρχουν και πολλές επιλογές με ύλη Α' λυκείου).

: Τετράγωνο μυαλό.Κ.png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Τα τρίγωνα DBS, BCT

είναι ισοσκελή με $D\widehat BS=B\widehat CT=135^\circ,$ άρα $D\widehat BT=67,5^\circ$

και κατά συνέπεια η

είναι μεσοκάθετος του DS.

Το

είναι λοιπόν περίκεντρο του DBS

και $D\widehat BS = 180^\circ - \dfrac{{D\widehat TS}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{D\widehat TS=90^\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 6:07 am
Τετράγωνο μυαλό.png $\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά , ενός τετραγώνου , κατά τμήμα , ίσο

με την διαγώνιο και την διαγώνιο κατά τμήμα , ίσο με την πλευρά .

Δείξτε ότι τα τμήματα είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

$CP=BM= \dfrac{a \sqrt{2} }{2} = \dfrac{BS}{2} \Rightarrow TB=TS=TD$ άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

Έτσι $\triangle DTSA$ εγγράψιμμο ,άρα $\triangle DTS$ ορθογώνιο και ισοσκελές .

: τετράγωνο μυαλό.png (40.8 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 6:07 am
Τετράγωνο μυαλό.png $\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά , ενός τετραγώνου , κατά τμήμα , ίσο

με την διαγώνιο και την διαγώνιο κατά τμήμα , ίσο με την πλευρά .

Δείξτε ότι τα τμήματα είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

Τα τρίγωνα DCT,DBS

είναι ισοσκελή DC=CT,DB=BS

. Οπότε

$2\theta =45\Leftrightarrow \theta =22,5^{0},2\phi =45\Leftrightarrow \phi =22,5^{0}, AT=AS\Rightarrow \hat{ATS}=67,5^{0}, \hat{DTS} =90^{0},\hat{SDT}=45^{0}=\hat{TSD},DT=TS$

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 6:07 am
Τετράγωνο μυαλό.png $\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά , ενός τετραγώνου , κατά τμήμα , ίσο

με την διαγώνιο και την διαγώνιο κατά τμήμα , ίσο με την πλευρά .

Δείξτε ότι τα τμήματα είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! )

Το

είναι περίκεντρο του ισοσκελούς τριγώνου TDB,

άρα $D\widehat TB=45^\circ.$

: Τετράγωνο μυαλό.ΚΑ.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Εξάλλου, $\displaystyle D\widehat BS = 135^\circ \Rightarrow D\widehat BT = T\widehat BS = 67,5^\circ.$ Από την ισότητα λοιπόν των τριγώνων

TDB, TSB

προκύπτει $\boxed{TD=TS}$ και $\displaystyle B\widehat TS = 45^\circ \Rightarrow$ $\boxed{D\widehat TS=90^\circ}$

Τετράγωνο μυαλό

Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Re: Τετράγωνο μυαλό

Μέλη σε σύνδεση