Γίνεται κι επώνυμη

[Eustathia p.]

Γίνεται επώνυμη.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Τρίγωνο , με τη γωνία οξεία, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία, στην και στο μικρό τόξο

Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι, του τριγώνου τέμνει την στο και του τριγώνου τη στο . Να δειχθεί ότι τα σημεία ανήκουν στη ίδια ευθεία.

[Mihalis_Lambrou]

Γίνεται επώνυμη.png
Τρίγωνο , με τη γωνία οξεία, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία, στην και στο μικρό τόξο

Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι, του τριγώνου τέμνει την στο και του τριγώνου τη στο . Να δειχθεί ότι τα σημεία ανήκουν στη ίδια ευθεία.

Είναι άμεσο από Γενίκευση της ευθείας Simson με μόνη διαφορά ότι αντί για κάθετες στις πλευρές από σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου φέρουμε ευθείες "ίσης κλίσης". Η απόδειξη είναι ίδια. Εδώ έχουμε

(βλέπουν ίσα τόξα) και (από το εγγράψιμο ). Τελειώσαμε.

Αν θέλαμε απευθείας απόδειξη (δηλαδή ουσιαστικά απόδειξη της γενίκευσης του Simson) δεν έχουμε παρά να παρατηρήσουμε ότι , και τα υπόλοιπα απλά.