Σε παραλληλόγραμμο

#1

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

με $B<90^{\circ}$ και AB < BC.

Αν η διχοτόμος της γωνίας $\angle ADC$ διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC,

να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\angle ABC.$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

socrates έγραψε:Δίνεται παραλληλόγραμμο με $B<90^{\circ}$ και
Αν η διχοτόμος της γωνίας $\angle ADC$ διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\angle ABC.$

$\widehat{ABC}=60^{\circ}$

Θα βάλω πλήρη λύση και σχήμα σε λίγο...

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Διαγραφή.

#4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
socrates έγραψε:Δίνεται παραλληλόγραμμο με $B<90^{\circ}$ και Αν η διχοτόμος της γωνίας $\angle ADC$ διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\widehat{ABC}.$
Από εκφώνηση $\widehat{ADO}=\widehat{ODC}$ . Ως εντός εναλλάξ, $\widehat{ADO}=\widehat{ODC}=\widehat{DOC}$ .

Επομένως,

Ως ακτίνες ίδιου κύκλου, . Επειδή $\widehat{BAC}$ βαίνει σε ημικύλιο, είναι ορθή.

Συνεπώς, από γνωστό θεώρημα, .

Άρα, $\overset{\triangle}{ABO}$ ισόπλευρο με $\boxed{\widehat{ABC}=60^{\circ}}$
Σε παραλληλόγραμμο.png

Θεωρείς ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάνω στην πλευρά BC.

Αυτό δεν είναι σωστό, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

: Σε παραλληλόγραμμο.png (14.59 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Κύριε Γιώργο, έχετε δίκιο. Μού ξέφυγε!

Ορέστης Λιγνός · #6

Ωραία άσκηση!

Παίρνουμε σημείο στην προέκταση της

(προς το

), ώστε

(1).

Έστω $K \equiv AE \cap DO$ .

Προφανώς $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=2\phi$ (2).

Το τρίγωνο $\vartriangle DEA$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

, και η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ADE}$ , οπότε είναι και ύψος και διάμεσος, οπότε $KA=KE,\widehat{DKE}=90^\circ$ .

Συνεπώς, στο τρίγωνο $\vartriangle OAE$ , η

είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με OA=OE

.

Έπεται ότι το

ανήκει στον κύκλο (O,OA)

, συνεπώς τα A,B,E,C

είναι ομοκυκλικά.

Άρα, το ABEC

είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο, δηλαδή $\widehat{AEC}=\widehat{ABC} \mathop = \limits^{(2)} \widehat{ADC}$ , άρα $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$ , οπότε το AED

είναι ισοσκελές με AD=AE

(3).

Από (1), (3), AE=AD=DE

, συνεπώς $\vartriangle AED$ ισόπλευρο, άρα $\widehat{ABC}=2\phi=\widehat{AEC}=\widehat{AED}=60^\circ$ .

Καταλήγουμε ότι $\boxed{\widehat{ABC}=60^\circ}}$ .

: gonia.png (24.29 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Υ.Γ. Η επιλογή του σημείου

προϋποθέτει DE>DC

, που ισχύει, αφού DE=DA=BC>AB=DC

.

Σε παραλληλόγραμμο

Σε παραλληλόγραμμο

Re: Σε παραλληλόγραμμο

Re: Σε παραλληλόγραμμο

Re: Σε παραλληλόγραμμο

Re: Σε παραλληλόγραμμο

Re: Σε παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση