Ίσα σύνολα ακεραίων

#1

.
Δείξτε ότι τα σύνολα $\{m^2-m+1 \, | m\in \mathbb N \, \}$ και $\{n^2+n+1 \, | n\in \mathbb N \, \}$ είναι ίσα.

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας).

∫ot.T. · #2

Ονομάζω το πρώτο σύνολο Μ και το δεύτερο Ν.
Αρκεί $(\forall x\in M)(\exists y\in N)(x=y)$ και $(\forall y\in N)(\exists x\in M)(y=x)$

Για την πρώτη πρόταση:
Αρκεί $(\forall m\in \mathbb{N})(\exists n\in \mathbb{N})(m^{2}-m+1-n^{2}-n-1=0)$

Αρκεί $(\forall m\in \mathbb{N})(\exists n\in \mathbb{N})((m+n)(m-n-1)=0)$

Όμως για κάθε θετικό φυσικό m υπάρχει ένας θετικός φυσικός n=m-1 που ισχύει η παραπάνω πρόταση.
Αν m=0 τότε n=0.

Ομοίως αποδεικνύουμε ότι ισχύει και η δεύτερη πρόταση, οπότε αποδείχθηκε το ζητούμενο.

#3

Ωραιότατα.

Γράφω την λύση σου με δικά μου λόγια για να είναι πιο προσιτή στο μέσο μαθητή της Α' Λυκείου. Όπως είναι τώρα γραμμένη, το ύφος είναι πολύ φορμαλιστικό (με ποσοδείκτες και λοιπά) που καλό είναι να το αποφεύγουμε όταν η άσκηση είναι απλή.

Θα έγραφα: Έστω m^2-m+1

στοιχείο του αριστερού συνόλου. Παίρνω n=m-1

, ισοδύναμα m=n+1

(τα πήρα από την λύση σου). Είναι τότε

m^2-m+1 = (n+1)^2-(n+1)+1 = (n^2+2n+1)-n-1+1= n^2+n+1

, δηλαδή ανήκει στο δεξί σύνολο.

Όμοια από το δεξί στο αριστερό (πάλι n=m-1

). Και λοιπά.

Ίσα σύνολα ακεραίων

Ίσα σύνολα ακεραίων

Re: Ίσα σύνολα ακεραίων

Re: Ίσα σύνολα ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση