Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

#1

Να επιλυθεί για τις διάφορες τιμές του $a\in \mathbb R$ η τριτοβάθμια εξίσωση

$x^3-(4a-1)x^2+4(a^2-1)x {\color {red} - }4a(a-2)=0$ (Άλλαξα ένα πρόσημο.Τυπογραφική μου αβλεψία.)

Σχόλιο. Πριν από μερικά χρόνια είχε γίνει πολύς ντόρος για το τίποτα (και στο εδώ φόρουμ) σχετικά με το αν επιτρέπεται ή όχι ένα συγκεκριμένο χαριτωμένο τεχνασματάκι στην επίλυση εξισώσεων. Δυστυχώς η φασαρία ήταν με αφορμή ένα θέμα στις Πανελλαδικές εξετάσεις. Το αποτέλεσμα ήταν ότι πολλοί που επέμεναν στις εμμονές τους έκαναν ζημιά στην βαθμολογία των γραπτών, με θύμα τους υποψηφίους, καθώς επηρέασαν αποπροσανατολιστικά διάφορα Βαθμολογικά Κέντρα.

Ευτυχώς το mathematica, έχει έκτοτε την δική του παρέμβαση. Οι λύσεις που δημοσιεύει είναι το προϊόν επιτροπής έγκριτων συναδέλφων που δημοσιεύει τις λύσεις της μετά από ενδελεχή συζήτηση, ανάλογη του ύψους που απαιτούν οι περιστάσεις.

Όπως καταλάβατε, η εξίσωση που θέτω, λύνεται με αυτό το τεχνασματάκι. Ας το θυμηθούμε...

#2

Άλλαξα ένα πρόσημο, που ήταν τυπογραφική μου αβλεψία.

Ευχαριστώ τον Κώστα (abdg) και τον Θανάση (KARKAR) που μου επεσήμαναν σε προσωπικό μήνυμα την ατασθαλία μου.

ΖΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ για την ταλαιπωρία. Παράλληλα θαυμάζω την διορατικότητα του Κώστα και του Θανάση που είδαν αυτό που μου διέφυγε. Τους ευχαριστώ θερμά.

#3

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{(4x-4)a^2 +(8-4x^2)a+(x^3 +x^2 -4x)=0}$ , (1)

Η διακρίνουσα του (ως προς το $\displaystyle{a}$ τριωνύμου) είναι:

$\displaystyle{D= 16(x-2)^2}$ .

Εύκολα τώρα βρίσκουμε μια ρίζα ότι είναι η $\displaystyle{a=\frac{x}{2}}$ , δηλαδή $\displaystyle{x=2a}$

Βρήκαμε λοιπόν (με το πιο πάνω "κολπάκι") ότι μια ρίζα της δοσμένης εξίσωσης είναι η $\displaystyle{x=2a}$ (το επαληθεύουμε εύκολα)

Τώρα ένας τρόπος να συνεχίσουμε είναι ο εξής:

Θα προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε το πρώτο μέλος της δοσμένης εξίσωσης, με δεδομένο ότι σίγουρα ένας παράγοντας είναι το $\displaystyle{x-2a}$

Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{x(x^2 - 4a^2)+x^2 -4a^2 +8a^2 x -4ax^2 -4x + 8a = 0\Leftrightarrow (x^2 -4a^2)(x+1) - 4ax(x - 2a) - 4(x - 2a)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(x-2a)(x+2a)(x+1) - 4ax(x-2a) - 4(x - 2a)=0\Leftrightarrow (x-2a)(x^2 - 2ax +x +2a - 4)=0}$

Άρα $\displaystyle{x=2a}$ ή $\displaystyle{x^2 -(2a - 1)x + 2(a-2) = 0}$

Και η συνέχεια είναι απλή

(ΣΗΜ: Θα μπορούσαμε να βρούμε την δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{x}$ εξίσωση και από την αρχή, βρίσκοντας και τις δύο ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ως προς το $\displaystyle{a}$ )

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 11, 2022 9:09 pm
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{(4x-4)a^2 +(8-4x^2)a+(x^3 +x^2 -4x)=0}$ , (1)

...

Τώρα ένας τρόπος να συνεχίσουμε είναι ο εξής:

...

Για λόγους πληρότητας, ας προσθέσω ότι ένας άλλος τρόπος να πορευτούμε είναι να συνεχίσουμε να βλέπουμε την (1) ως πολυώνυμο του

και να παραγοντοποιήσουμε αυτό (στην παραπάνω λύση το είδαμε ως πολυώνυμο του

). Θα βρούμε ότι ισούται με

(2a-x)[2(x-1)a-x^2-x+4]

Έτσι οι άλλες ρίζες προέρχονται από την 2(x-1)a-x^2-x+4=0

, την οποία τώρα βλέπουμε ως δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του

. Το λύνουμε εύκολα.

abgd · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 11, 2022 10:54 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 11, 2022 9:09 pm
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{(4x-4)a^2 +(8-4x^2)a+(x^3 +x^2 -4x)=0}$ , (1)

...

Τώρα ένας τρόπος να συνεχίσουμε είναι ο εξής:

...
Για λόγους πληρότητας, ας προσθέσω ότι ένας άλλος τρόπος να πορευτούμε είναι να συνεχίσουμε να βλέπουμε την (1) ως πολυώνυμο του και να παραγοντοποιήσουμε αυτό (στην παραπάνω λύση το είδαμε ως πολυώνυμο του ). Θα βρούμε ότι ισούται με

Έτσι οι άλλες ρίζες προέρχονται από την , την οποία τώρα βλέπουμε ως δευτεροβάθμιο πολυώνυμο του . Το λύνουμε εύκολα.

Κάτι ακόμα...

Για να είναι τριώνυμο ως προς

το $\displaystyle{(4x-4)a^2 +(8-4x^2)a+(x^3 +x^2 -4x)}$

θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι για $\displaystyle{x=1}$ , από την $\displaystyle{(4x-4)a^2 +(8-4x^2)a+(x^3 +x^2 -4x)=0}$ ,

έχουμε: $\displaystyle{a=1/2}$ .

Για $\displaystyle{a=1/2}$ βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης η οποία είναι η $\displaystyle{x=1}$

Έτσι, για $\displaystyle{a\ne1/2}$ το

δεν μπορεί να είναι ίσο με

και το $\displaystyle{(4x-4)a^2 +(8-4x^2)a+(x^3 +x^2 -4x)}$ είναι τριώνυμο ως προς

και το οποίο μπορεί να παραγοντοποιηθεί με τη βοήθεια της διακρίνουσας του.

kkala · #6

Η αρχική τριτοβάθμια εξίσωση μηδενίζεται για x=2a

, άρα το αντίστοιχο τριτοβάθμιο πολυώνυμο διαιρείται δια x-2a

. Εκτελώντας τη διάρεση, βρίσκεται (υπόλοιπο

και) πιλήκον το τριώνυμο x^2 -(2a-1)x+2a-4

. Οι ρίζες του τελευταίου είναι $0.5(2a+1 \pm \sqrt{4a^2 -12a+17})$ (και οι δύο πραγματικές, καθόσον το υπόρριζο

για κάθε α). Αυτες είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, καθώς και η x=2a

.

Κρίνεται ότι τα παραπάνω αποτελούν την συνηθισμένη προσπάθεια επίλυσης τέτοιων εξισώσεων (όχι πάντα με επιτυχία) κατά τις δεκαετίες του 1950 και 1960 τουλάχιστον. Εδώ βέβαια οι συντελεστές της εξίσωσης είναι παραμετρικοί, αλλά η προκύπτουσα δυσχέρεια δεν είναι ουσιώδης. Η κύρια δυσκολία αφορά τις επίμονες δοκιμές (π.χ. για $x=\pm 1, \pm 2,\pm a,\pm (a-2)$ ), προτού διαπιστωθεί η ρίζα x=2a

.
Με τη θεώρηση του α ως αγνώστου εξαλείφεται η παραπάνω δυσκολία και το αρχικό πολυώνυμο 3ου βαθμού μπορεί να παραγοντοποιηθεί είτε ως προς χ, είτε ως προς α. Αλλά ούτε η επίλυση ως προς α είναι απαραίτητη, διότι παραγοντοποίηση μπορεί τα γίνει και με ομαδοποίηση των όρων, όπως δείχνει η #4 (Δημήτρης Ιωάννου). Η επίλυση ως προς α (που επίσης γίνεται στην #4) διευκολύνει πάντως την παραγοντοποίηση.

Θερμή παράκληση για αναφορά των σχετικών συζητήσεων που έγιναν στο mathematica κατά το παρελθον (βλ. #1). Επισης, ποιά σχολή αφορούν και ποιό ημερολογιακό έτος;

#7

kkala έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 17, 2022 10:41 pm

Θερμή παράκληση για αναφορά των σχετικών συζητήσεων που έγιναν στο mathematica κατά το παρελθον (βλ. #1). Επισης, ποιά σχολή αφορούν και ποιό ημερολογιακό έτος;

Στη δημοσίευση παρακάτω θα βρεις ένα μέρος από το ιστορικό αυτής της υπόθεσης:

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 13#p198313

Αλέξανδρος

Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Re: Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Re: Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Re: Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Re: Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Re: Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Re: Πολυωνυμική εξίσωση, πολύς ντόρος για το τίποτα

Μέλη σε σύνδεση