Εξίσωση με απόλυτα

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle { |x|-|x+2|+|x+4|-|x+6|+...-|x+998| =|x+1|-|x+3|+|x+5|-|x+7|+...-|x+999| .}$

#2

Επαναφορά...

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

parmenides51 · #3

Απόδειξη υπόδειξης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

parmenides51 · #4

Με βάση την υπόδειξη (+ απόδειξη της) έχω: $|x|+|x+3|\geq |x+1|+|x+2|$ (1) με το ίσον όταν $x\in\left(-\infty,-3 \right]\cup [0,+\infty \right))$
βάζοντας στην (1) όπου

το

έχω: $|x+4|+|x+7|\geq |x+5|+|x+6|$ με το ίσον όταν $x+4\in\left(-\infty,-3 \right]\cup [0,+\infty \right))$
βάζοντας στην (1) όπου

το

έχω: $|x+8|+|x+11|\geq |x+9|+|x+10|$ με το ίσον όταν $x+8\in\left(-\infty,-3 \right]\cup [0,+\infty \right))$
...
βάζοντας στην (1) όπου

το

έχω: $|x+996|+|x+999|\geq |x+997|+|x+998|$ με το ίσον όταν $x+996\in\left(-\infty,-3 \right]\cup [0,+\infty \right))$

άρα προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει πως

$|x|+|x+3|+|x+4|+|x+7|+|x+8|+|x+11|+...+|x+996|+|x+999|\geq|x+1|+|x+2|+|x+5|+|x+6|+|x+9|+|x+10|+...+|x+997|+|x+998|$
$\Leftrightarrow|x|-|x+2|+|x+4|-|x+6|+|x+8|-|x+10|+...+|x+996|-|x+998| \geq|x+1|-|x+3|+|x+5|-|x+7|+|x+9|-|x+11|+...+|x+997|-|x+999|$

με το ίσον να ισχύει όταν ισχύουν όλα τα παραπάνω ίσον δηλαδή όταν

$\left\{\begin{matrix} (x\leq -3)\cup (x\geq 0) \\ (x+4\leq -3)\cup (x+4\geq 0)\\ (x+8\leq -3)\cup (x+8\geq 0)\\ ...\\ (x+996\leq -3)\cup (x+996\geq 0) \end{matrix}\right}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x\leq -3)\cup (x\geq 0)\\ (x\leq -7)\cup (x\geq -4)\\ (x\leq -11)\cup (x\geq -8)\\ ...\\ (x\leq -999)\cup (x\geq -996) \end{matrix}\right}$

$\Rightarrow x \in (-\infty,-999] \cup [-996,-995] \cup ... \cup [-8,-7] \cup [-4,-3] \cup [0,\infty)$

'Άρα η δοθείσα εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, τις $x \in (-\infty,-999] \cup [-996,-995] \cup ... \cup [-8,-7] \cup [-4,-3] \cup [0,\infty)$ .

edit: Ευχαριστώ τον θεματοδότη για την διόρθωση στην συναλήθευση.

#5

Σχετικό θέμα:
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=9392

Εξίσωση με απόλυτα

Εξίσωση με απόλυτα

Re: Εξίσωση με απόλυτα

Re: Εξίσωση με απόλυτα

Re: Εξίσωση με απόλυτα

Re: Εξίσωση με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση