Το πολύ μία ακέραιη ρίζα

#1

Για τους συντελεστές a, b

της εξίσωσης x^2+ax+b=0

ισχύουν

και

Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μία ακέραιη ρίζα.

24 ώρες μόνο για μαθητές.

konargyr14 · #2

Καλησπέρα κύριε Γιώργο.
Ας είναι x_1, x_2

οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης. Από τους τύπους Vieta είναι x_1 + x_2 = -a

,

. Η ιδέα της απόδειξης έγκειται στο να δείξουμε ότι μία τουλάχιστον εκ των δύο ριζών ανήκει είτε στο (-1, 0)

είτε στο

οπότε δε μπορεί να είναι ακέραιη. Με αντικατάσταση των παραπάνω τύπων παίρνουμε παίρνουμε:

|x_1 + x_2| - |x_1x_2| > 1

και λόγω της τριγωνικής ανισότητας είναι $|x_1 + x_2| \leq |x_1| + |x_2|$ , οπότε:

$|x_1| + |x_2| - |x_1 x_2| > |x_1 + x_2| - |x_1x_2| > 1 \Longrightarrow |x_1| + |x_2| - |x_1|| x_2| >1 \Leftrightarrow 0 > (|x_1| - 1)(|x_2| - 1)$

Άρα για μία από τις ρίζες, έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας η x_1

ισχύει ότι:

$0 > |x_1| - 1 \Longrightarrow 1 > |x_1| > 0 \Longleftrightarrow x_1 \in (-1,0) \cup (0,1) \Longrightarrow x_1 \notin \mathbb{Z}$

Κωνσταντίνος

#3

konargyr14 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 08, 2025 7:29 pm
Καλησπέρα κύριε Γιώργο.
Ας είναι οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης. Από τους τύπους Vieta είναι , . Η ιδέα της απόδειξης έγκειται στο να δείξουμε ότι μία τουλάχιστον εκ των δύο ριζών ανήκει είτε στο είτε στο οπότε δε μπορεί να είναι ακέραιη. Με αντικατάσταση των παραπάνω τύπων παίρνουμε παίρνουμε:

και λόγω της τριγωνικής ανισότητας είναι $|x_1 + x_2| \leq |x_1| + |x_2|$ , οπότε:

$|x_1| + |x_2| - |x_1 x_2| > |x_1 + x_2| - |x_1x_2| > 1 \Longrightarrow |x_1| + |x_2| - |x_1|| x_2| >1 \Leftrightarrow 0 > (|x_1| - 1)(|x_2| - 1)$

Άρα για μία από τις ρίζες, έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας η ισχύει ότι:

$0 > |x_1| - 1 \Longrightarrow 1 > |x_1| > 0 \Longleftrightarrow x_1 \in (-1,0) \cup (0,1) \Longrightarrow x_1 \notin \mathbb{Z}$

Κωνσταντίνος

Το πολύ μία ακέραιη ρίζα

Το πολύ μία ακέραιη ρίζα

Re: Το πολύ μία ακέραιη ρίζα

Re: Το πολύ μία ακέραιη ρίζα

Μέλη σε σύνδεση