Σύστημα ανισώσεων

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha,\beta$ με $0\le\alpha\le\beta$ για τους οποίους ισχύει
$\alpha^{4n-2}+\beta^{4n-2}\ge1\ge\alpha^{4n}+\beta^{4n}$ για κάθε $n\in \mathbb{N}^*$ .

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2024 10:03 pm
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha,\beta$ με $0\le\alpha\le\beta$ για τους οποίους ισχύει
$\alpha^{4n-2}+\beta^{4n-2}\ge1\ge\alpha^{4n}+\beta^{4n}$ για κάθε $n\in \mathbb{N}^*$ .

Απάντηση:

Έχουμε $1\ge\alpha^{4n}+\beta^{4n} \ge \beta^{4n}$ , οπότε $1\ge \beta$ . Αν $1>\beta$ τότε από την

$2\beta^{4n-2}\ge \alpha^{4n-2}+\beta^{4n-2}\ge 1$ για κάθε

, ισοδύναμα $2 \ge \left ( \dfrac {1}{\beta} \right ) ^{4n-2}$ , θα είχαμε άτοπο για μεγάλα

. Πράγματι λογαριθμίζοντας έχουμε $\ln 2 > (4n-2) \ln \dfrac {1} {\beta}$ , που θα έδινε ότι οι φυσικοί αριθμοί θα ήσαν άνω φραγμένο σύνολο, συγκεκριμένα $4n-2 < \dfrac {\ln 2}{\ln \dfrac {1} {\beta} }$ , που δεν ισχύει. (Το ίδιο συμπέρασμα βγαίνει και από χρήση της $2 \ge \left ( \dfrac {1}{\beta} \right ) ^{4n-2} = (1+c) ^{4n-2} \ge 1+(4n-2)c$ , που οδηγεί στο ίδιο άτοπο όπως πριν).

Τελικά $\beta =1$ .

H αρχική τώρα γίνεται $\alpha^{4n-2}+1\ge1\ge\alpha^{4n}+1$ , ισοδύναμα $\alpha^{4n-2}\ge 0\ge\alpha^{4n}$ ή αλλιώς $\alpha \ge 0 \ge \alpha$ , από όπου $\alpha =0.$ Και λοιπά.

Σύστημα ανισώσεων

Σύστημα ανισώσεων

Re: Σύστημα ανισώσεων

Μέλη σε σύνδεση