Μία ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

τέτοιοι ώστε x^2+y^2=1

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x^4+ 4y^2}{9}} + \sqrt{\frac{y^4 + 4x^2}{9}} = 1}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 7:10 pm
Έστω τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x^4+ 4y^2}{9}} + \sqrt{\frac{y^4 + 4x^2}{9}} = 1}$

Θέτω , $x = \cos t\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \sin t$ κι έτσι ,

$A = \sqrt {\dfrac{{{x^4} + 4{y^2}}}{9}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {{{\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)}^2} + 4{{\sin }^2}t} = \dfrac{1}{3}\sqrt {{{\left( {1 + {{\sin }^2}t} \right)}^2}} = \dfrac{1}{3}\left( {1 + {{\sin }^2}t} \right)$ . Ομοίως:

$B = \sqrt {\dfrac{{4{x^2} + {y^4}}}{9}} = \dfrac{1}{3}\left( {1 + {{\sin }^2}t} \right)$ και άρα : $\boxed{A + B = \dfrac{1}{3}\left( {1 + 1 + {{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t} \right) = 1}$

kfd · #3

$\chi ^{4}=\left ( 1-\psi ^{2} \right )^{2}=1-2\psi ^{2}+\psi ^{4}.$
$\chi ^{4}+4\psi ^{2}=\left ( 1+\psi ^{2} \right )^{2}.$
Το 1ο ριζικό της αποδεικτέας
$\sqrt{\frac{\left ( 1+\psi ^{2} \right )^{2}}{9}}=\frac{1+\psi ^{2}}{3}$
και όμοια το 2ο
$\sqrt{\frac{\left ( 1+\chi ^{2} \right )^{2}}{9}}=\frac{1+\chi ^{2}}{3}$
απ' όπου με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 7:10 pm
Έστω τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x^4+ 4y^2}{9}} + \sqrt{\frac{y^4 + 4x^2}{9}} = 1}$

$\sqrt{ \dfrac{x^4+4y^2(x^2+y^2)}{9} }+ \sqrt{ \dfrac{y^4+4x^2(x^2+y^2)}{9} }= \sqrt{ \dfrac{(x^2+2y^2)^2}{9} }+ \sqrt{ \dfrac{(y^2+2x^2)^2}{9} }$ =

$\dfrac{x^2+2y^2+y^2+2x^2}{3} = \dfrac{3(x^2+y^2)}{3}=1$

Μία ισότητα

Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Μέλη σε σύνδεση