Ακέραιοι αριθμοί

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2)

είναι ακέραιοι.

Δείξατε ότι ο είναι επίσης ακέραιος.
Εξετάσατε αν ο είναι ακέραιος.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Υποθέτουμε ότι οι είναι ακέραιοι.

Δείξατε ότι ο είναι επίσης ακέραιος.

Εξετάσατε αν ο είναι ακέραιος.

Θέτουμε

$n=\alpha+\beta=f(1)-f(0)$ και $m=4\alpha+2\beta=f(2)-f(0).$

Από την υπόθεση οι n,m

είναι ακέραιοι. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε

$a=\dfrac{m}{2}-n$ και $b=2n-\frac{m}{2}.$

Έτσι, o

$f(2010)=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)2010^2+\left(2n-\frac{m}{2}\right)2010+\gamma=(1005m-2010n)2010+4020n-1005m+f(0)$

αλλά και ο

$f(2011)=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)2011^2+\left(2n-\frac{m}{2}\right)2011+\gamma=2011\cdot 1005m -2011^2n+4022n+f(0)$

είναι ακέραιοι.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Υποθέτουμε ότι οι είναι ακέραιοι.

Δείξατε ότι ο είναι επίσης ακέραιος.

Εξετάσατε αν ο είναι ακέραιος.

Ας δείξουμε (αλλά εκτός ύλης της Α' Λυκείου) ότι όλα τα f(N)

είναι ακέραιοι, για

φυσικό.

Εργαζόμαστε επαγωγικά. Για το επαγωγικό βήμα

f(N+1) = a(N+1)^2+b(N+1)+c = (aN^2+bN+c)+2aN + (a+b)=

άθροισμα ακεραίων.

Tolaso J Kos · #4

Μιχάλη,

χάνω κάτι ; Δε βλέπω γιατί το f(N)

είναι ακέραιος.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 11:30 am
Μιχάλη,

χάνω κάτι ; Δε βλέπω γιατί το είναι ακέραιος.

Τόλη, το

ακέραιος είναι η επαγωγική υπόθεση.

Η απόδειξη που έγραψα παραπάνω δεν είναι πλήρης αλλά μόνο η ουσία. Συγκεκριμένα είναι

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 01, 2018 3:43 pm
... Για το επαγωγικό βήμα ...

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Υποθέτουμε ότι οι είναι ακέραιοι.

Δείξατε ότι ο είναι επίσης ακέραιος.

Εξετάσατε αν ο είναι ακέραιος.

Από την υπόθεση προκύπτει ότι οι αριθμοί $\displaystyle \gamma ,\alpha + \beta + \gamma ,4\alpha + 2\beta + \gamma$ είναι

ακέραιοι και στη συνέχεια ότι $\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma$ είναι ακέραιοι, οπότε $\displaystyle f(k)$ ακέραιος για κάθε $k\in N$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 2:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Υποθέτουμε ότι οι είναι ακέραιοι.

Δείξατε ότι ο είναι επίσης ακέραιος.

Εξετάσατε αν ο είναι ακέραιος.

Από την υπόθεση προκύπτει ότι οι αριθμοί $\displaystyle \gamma ,\alpha + \beta + \gamma ,4\alpha + 2\beta + \gamma$ είναι

ακέραιοι και στη συνέχεια ότι $\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma$ είναι ακέραιοι, οπότε $\displaystyle f(k)$ ακέραιος για κάθε $k\in N$

Όχι Γιώργο.

Πάρε $\alpha =\beta =\frac{1}{2} ,\gamma =6$

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 2:33 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 2:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ . Υποθέτουμε ότι οι είναι ακέραιοι.

Δείξατε ότι ο είναι επίσης ακέραιος.

Εξετάσατε αν ο είναι ακέραιος.

Από την υπόθεση προκύπτει ότι οι αριθμοί $\displaystyle \gamma ,\alpha + \beta + \gamma ,4\alpha + 2\beta + \gamma$ είναι

ακέραιοι και στη συνέχεια ότι $\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma$ είναι ακέραιοι, οπότε $\displaystyle f(k)$ ακέραιος για κάθε $k\in N$
Όχι Γιώργο.

Πάρε $\alpha =\beta =\frac{1}{2} ,\gamma =6$

Σωστά!

Στους υπολογισμούς μου, το λάθος έγινε σε μία αφαίρεση: $\displaystyle (3\alpha + \beta ) - (\alpha + \beta ) = 2\alpha$ ακέραιος
και ξέχασα τον συντελεστή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Ας δούμε μια λύση με ύλη Γυμνασίου αλλά με ακροβατικό.

Γράφουμε $f(x)=ax^{2}+bx+c=ax^{2}-ax+(b+a)x+c=ax(x-1)+dx+c$

Από f(0)

ακέραιος προκύπτει

ακέραιος.

Από f(1)

ακέραιος και το προηγούμενο προκύπτει

ακέραιος.

Από f(2)

ακέραιος και τα προηγούμενα προκύπτει

ακέραιος.

Εστω $n\in \mathbb{Z}$

Είναι f(n)=an(n-1)+dn+c

που είναι ακέραιος γιατί αφού κάποιος από

τους n,n-1

είναι ζυγός θα έχουμε n(n-1)=2k

με

ακέραιο οπότε

f(n)=2ak+dn+c

Ακέραιοι αριθμοί

Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση