Δευτεροβάθμια

hsiodos · #1

Καλησπέρα
Ξεφυλλίζοντας κάποιες παλιές σημειώσεις ''έπεσα'' σε μια άσκηση(δεν θυμάμαι την προέλευση της) που μου άρεσε, την παραθέτω.

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η εξίσωση $x^2+\kappa x+\lambda =0 \,\,\,(1)$ , με κ , λ πραγματικούς αριθμούς τέτοιους ώστε $\kappa ^2-2\lambda ^2<\kappa \left|\lambda \right|$
Αν η (1) έχει πραγματικές ρίζες τότε να δείξετε ότι η εξίσωση $\lambda x^2+\kappa x+1 =0$ έχει πραγματικές ρίζες $\rho _1\,\,,\rho _2$ που ικανοποιούν την σχέση $\left|\rho _1 \right|-\left|\rho _2 \right|<2$

Γιώργος

Χρήστος Λαζαρίδης · #2

Γιώργο
Παρουσιάζω μία λύση, της πράγματι πολύ ωραίας άσκησης, με την ευχή να μη τη βάλει κανένας στις εξετάσεις Α΄Λυκείου
Είναι η πρώτη φορά που γράφω σε Latex, τόσο μεγάλο κείμενο και χρειάζομαι τη συμπαράστασή σας.
Λύση
Έστω $\lambda = 0\Rightarrow \kappa ^{2}<0$ , άτοπο, άρα $\lambda \neq 0$ .
Η δευτεροβάθμια έχει ίση διακρίνουσα με την θετική διακρίνουσα της (1), επομένως η νέα δευτεροβάθμια θα έχει δύο άνισες ρίζες $\rho _{1},\rho _{2}$
Αν $\left|\rho _{1} \right|<\left|\rho _{2} \right|$ , τότε προφανώς ισχύει.
Αν $\left|\rho _{1} \right|>\left|\rho _{2} \right|$ , τότε $\left|\rho _{1} \right|-\left|\rho _{2} \right|\leq \left|\rho _{1} \right+\rho _{2}|=\left|-\frac{\kappa }{\lambda } \right|=\left|\frac{\kappa }{\lambda } \right|$
Από τη σχέση $\kappa ^{2}-2\lambda ^{2}<\kappa \left|\lambda \right|\Rightarrow \kappa ^{2}-2\lambda ^{2}-\kappa \left|\lambda \right|<0$ , η οποία είναι δευτεροβάθμια με ρίζες $2\left|\lambda \right|,-\left|\lambda \right|$ , προκύπτει:
$-\left|\lambda \right| < \kappa < |2\left|\lambda \right|$ (2)
Αν κ > 0, τότε από (2): $-\left|\lambda \right| < \left| \kappa \right|< 2\left|\lambda \right| \Rightarrow \left|\frac{\kappa }{\lambda } \right|<2$
An κ < 0, τότε από (2): $\left|\lambda \right| > \left| \kappa \right|>-2\left|\lambda \right| \Rightarrow \left|\frac{\kappa }{\lambda } \right|<1\Rightarrow \left|\frac{\kappa }{\lambda } \right| <2$
Φιλικά Χρήστος
(Πρέπει να υπάρχει και κάτι συντομότερο)

hsiodos · #3

Χρήστο καλημέρα

Φυσικά δεν είναι άσκηση για τις εξετάσεις αυτής της περιόδου(για ευνόητους λόγους)
Δεν έχω υπόψη μου πιο σύντομη λύση από αυτήν που έδωσες.
Αποδεικνύεται και με εις άτοπο απαγωγή αλλά και αυτή έχει την διαδικασία της.

Φιλικά

Γιώργος

p@g · #4

Οφείλω να ομολογήσω είναι μια αρκετά τολμηρή...Ισως με μία προεργασία καμιας σχεδόν παρόμοιας άσκησης θα μπορούσε να μπει σε διαγώνισμα φροντιστηρίου..Για σχολικές εξετάσεις νομίζω πως δεν τίθεται θέμα..

mathfinder · #5

Είναι $\displaystyle{\lambda \neq 0 }$ και $\displaystyle{\kappa ^{2}\geq 4\lambda }$ . Έστω ότι ισχύει $\displaystyle{\left|\rho _{1} \right|-\left|\rho _{2} \right|\geq 2 }$ . Υψώνουμε στο τετράγωνο κι έχουμε $\displaystyle{\rho _{1}^{2}+\rho_{2}^{2}-2\left|\rho _{1}\rho _{2} \right|\geq 4}$ . Από τους τύπους του Vieta η σχέση γίνεται
$\displaystyle{\left(\frac{\kappa ^{2}}{\lambda ^{2}} \right)-\frac{2}{\lambda }-\frac{2}{\left|\lambda \right|}\geq 4}$ , οπότε καταλήγουμε $\displaystyle{\kappa ^{2}-4\lambda ^{2}\geq 2\left(\left|\lambda \right|+\lambda \right)\geq 0}$ δηλαδή $\displaystyle{\left(\kappa -2\left|\lambda \right| \right)\left(\kappa +2\left|\lambda \right| \right)\geq 0}$ .Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί από την δεδομένη σχέση έχουμε με παραγοντοποίηση $\displaystyle{\left(\kappa -2\left|\lambda \right| \right)\left(\kappa +\left|\lambda \right| \right)\prec 0}$ δηλαδή $\displaystyle{\kappa -2\left|\lambda \right|< 0<\kappa +\left|\lambda \right|<\kappa +2\left|\lambda \right|}$ . Άρα είναι $\displaystyle{\left|\rho _{1} \right|-\left|\rho _{2} \right|<2}$ .
Νομίζω ότι αυτόν τον τρόπο εννοεί και ο Γιώργος και τον έγραψα για να χρησιμοποιήσω και για πρώτη φορά Latex.
Αθ. Μπεληγιάννης

Δευτεροβάθμια

Δευτεροβάθμια

Re: Δευτεροβάθμια

Re: Δευτεροβάθμια

Re: Δευτεροβάθμια

Re: Δευτεροβάθμια

Μέλη σε σύνδεση