Που υπάρχει πρόβλημα;;;

#1

Για την άσκηση 5 ιι ερώτημα σελίδα 36, δείτε τα ακόλουθα.

ΣΩΣΤΗ ΛΥΣΗ
Αν α > 0, β > 0 είναι οι πλευρές του νέου ορθογωνίου και Ε το εμβαδό του, έχουμε ότι:
α = x + 0,2, β = y – 0,1 και Ε = αβ. Τότε:
$2 < x < 3 \Leftrightarrow 2 + 0,2 < x + 0,2 < 3 + 0,2 \Leftrightarrow 2,2 < a < 3,2 (I)$
$3 < y < 5 \Leftrightarrow 3 - 0,1 < y-0,1< 5 - 0,1 \Leftrightarrow 2,9 < \beta < 4,9 (II)$
Τα μέλη των σχέσεων (Ι) και (ΙΙ) είναι θετικά, οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη και βρίσκουμε:
$2,2 \cdot 2,9 < a \beta < 3,2 \cdot 4,9 \Leftrightarrow 6,38 < E < 15,68$

ΔΕΙΤΕ ΤΩΡΑ ΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΗ ΛΥΣΗ

Αν α > 0, β > 0 είναι οι πλευρές του νέου ορθογωνίου και Ε το εμβαδό του, έχουμε ότι:
α = x + 0,2, β = y – 0,1 και Ε = αβ = xy + 0,2y- 0,1x - 0,02. Τότε:
2 < x < 3 kai 3 < y < 5

, άρα

$3 < y < 5 \Leftrightarrow 0,6 < 0,2y < 1 (IV)$
$2 < x < 3 \Leftrightarrow -0,3 < -0,1x < -0,2 (V)$
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (ΙΙΙ), (IV) και (V):
$6,3<xy+0,2y-0,1x<15,8 \Leftrightarrow$
$6,3-0,02<xy+0,2y-0,1x-0,02<15,8 -0,02\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 6,28<E<15,78$ !!!!!!!!!!!!!!!!

Κάτι δεν είναι σωστό.

Τι;;;;;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

k-ser · #2

Λευτέρη,
θα ήταν πολύ καλό παράδειγμα, για το ελάχιστο και το μέγιστο μιας παράστασης, αν το σύμβολο της ανισότητας περιείχε και το "=".
Παραμένει βέβαια ένα καλό παράδειγμα για την καλύτερη προσέγγιση μιας παράστασης.

Και οι δύο λύσεις που δίνεις δεν έχουν κάποιο εσωτερικό πρόβλημα.

Το ζητούμενο της άσκησης είναι οι δυνατές τιμές (!) του εμβαδού. Ασαφές ζητούμενο, κάτι που αποδεικνύεται και από τις λύσεις σου.
Καλύτερο θα ήταν να ζητηθεί ότι το εμβαδόν βρίσκεται μεταξύ κάποιων συγκεκριμένων αριθμών.

Αν οι αριθμοί αυτοί ήταν το 6,28 και το 15,78 τότε με οποιονδήποτε τρόπο και να λύναμε την άσκηση θα προέκυπτε το ζητούμενο
Αν οι αριθμοί αυτοί ήταν το 6,38 και το 15,68 τότε ο δεύτερος τρόπος επίλυσης δεν είναι σε θέση να δώσει το ζητούμενο.

Το γιατί συμβαίνει αυτό έχει να κάνει με τη μορφή των δύο παραστάσεων:

E_1=(x+0,2)(y-0,1)

και $E_2=\bf \color{blue}{xy+0,2y-0,02} \bf \color{red}{-0,1x}$ , όταν 2<x<3

και

.

Θα αλλάξω λίγο τους περιορισμούς των μεταβλητών για να γίνει πιο απλό - κατανοητό.
Αν $2\leq x \leq 3$ και $3\leq y \leq5$ τότε
για την πρώτη παράσταση είναι
$6,38 \leq E_1 \leq 15,68$ και το αριστερά"=" συμβαίνει όταν $x=2, \ \ y=3$ , το δεξιά "=" όταν $x=3, \ \ y=5$
και για την δεύτερη
$6,28 \leq E_2 \leq 15,78$ και το αριστερά"=" δεν συμβαίνει όταν $x=2, \ \ y=3$ , το δεξιά "=" δεν συμβαίνει όταν $x=3, \ \ y=5$
και αυτό γιατί ο κόκκινος όρος της παράστασης, $\bf \color{red} {-0,1x}$ αντιστρέφει τη φορά της διάταξης, (γίνεται ελάχιστος όταν και μέγιστος όταν )
και έτσι χάνουμε το ελάχιστο και μέγιστο της παράστασης.

Συμπλήρωμα1.
Αν θέλαμε μια διόρθωση στον δεύτερο τρόπο ώστε να μην χάσουμε το ελάχιστο και το μέγιστο θα μπορούσε, κάποιος, να διακινδυνεύσει τα παρακάτω:
Αφού ο λόγος που χάνουμε το μέγιστο, ελάχιστο της δεύτερης παράστασης είναι η αντιστροφή της διάταξης που κάνει ο $\bf \color{red} {-0,1x}$ θεωρώ την παράσταση:
$E_3=E_2+\bf \color{red} {0,1x}=\bf \color{blue}{xy+0,2y-0,02}$ .
Για την E_3

ισχύει: $6,58 \leq E_3 \leq 15,98$ και το 6,58 συμβαίνει όταν $x=2, \ \ y=3$ ενώ το 15,98 όταν $x=3, \ \ y=5$ τότε όμως η παράσταση E_2

γίνεται 6,38 και 15,68 αντίστοιχα.
Προσοχή όμως στη συγκεκριμένη άσκηση αυτή η διόρθωση μπορεί να πετυχαίνει - τίποτα όμως δεν μας εξασφαλίζει ότι για κάποιες τιμές των x και y η E_2

δεν ξεπερνάει τα όρια των 6,38 και 15,68.
Είμαστε, δηλαδή, αναγκασμένοι να δεχθούμε ότι η μορφή της $\bf E_2$ δεν μπορεί να μας δώσει την ελάχιστη και μέγιστη τιμή της!

Συμπλήρωμα 2.

Ένα άλλο παράδειγμα: Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης Τ=ημx+συνx, x πραγματικός.

Ο μόνος τρόπος, χωρίς παραγώγους, για να βρεθεί η ελάχιστη $-\sqrt{2}$ και μέγιστη $\sqrt{2}$ τιμή της Τ είναι ο μετασχηματισμός της και όχι η απλή χρήση της ελάχιστης - μέγιστης τιμής του ημx και του συνx.

#3

Κώστα, ωραία και πλήρης η προσέγγισή σου.

Το όλο θέμα προέκυψε από απορία και σκέφτηκα ότι καλό θα ήταν να το γνωστοποιήσω στην κοινότητά μας, διότι μπορεί κάποιος να μην ήταν υποψιασμένος.

#4

Το θέμα που έθεσε ο Λευτέρης είναι μια καλή αφορμή για να διευκρινιστεί ένα λεπτό σημείο στις ανισότητες.
Λάθος είναι η πρόσθεση των ανισοτήτων, γιατί περιέχουν την ίδια μεταβλητή και με τον πολλαπλασιασμό με (-1) αντιστρέψαμε τη φορά, όπως επισήμανε ο Κώστας παραπάνω.
Κάτι που γίνεται ολοφάνερο όταν έχουμε και (=).
Πιστεύω ότι είναι ενδιαφέρον θέμα για συζήτηση στην τάξη.

Προτείνω π.χ. μια συζήτηση σαν την παρακάτω:
Παρουσιάζουμε στην τάξη τις πράξεις ανισοτήτων:

Δίνεται: $\displaystyle 2 \le x \le 3$ (1).
Ζητείται το ελάχιστο και μέγιστο της παράστασης: Α = $\displaystyle \frac{x}{2} + 4$

Λογικό είναι να προταθεί η παρακάτω λύση:

Από την (1) έχουμε: $\displaystyle 2 \le x \le 3\; \Rightarrow \;1 \le \frac{x}{2} \le \frac{3}{2}\; \Rightarrow \;5 \le \frac{x}{2} + 4 \le \frac{{11}}{2}\; \Rightarrow \;5 \le A \le \frac{{11}}{2}$

Παρουσιάζουμε την επόμενη "λύση": $\displaystyle (1)\;\; \Rightarrow \; - 1 \ge - \frac{x}{2} \ge - \frac{3}{2}\; \Rightarrow \; - \frac{3}{2} \le - \frac{x}{2} \le - 1\;\;(2)$

Προσθέτοντας τις ομόρροπες (1) και (2) έχουμε:
$\displaystyle 2 - \frac{3}{2} \le x - \frac{x}{2} \le 3 - 1\; \Rightarrow \;\frac{1}{2} \le \frac{x}{2} \le 2\; \Rightarrow \;\frac{9}{2} \le \frac{x}{2} + 4 \le 6\; \Rightarrow \;\frac{9}{2} \le A \le 6$

Ζητάμε να εντοπίσουν το σφάλμα.
Η "λύτρωση" θα προκύψει όταν ζητήσουμε να εντοπίσουν για ποια τιμή του x προκύπτει σε κάθε περίπτωση το μέγιστο και το ελάχιστο της Α.

Γιώργος Ρίζος

pito · #5

Καλημέρα ,χρόνια πολλά , καλή και δημιουργική χρονιά σε όλα τα μέλη, με υγεία !Εξαιρετικό το παραπάνω θέμα, ευχαριστούμε!!

Που υπάρχει πρόβλημα;;;

Που υπάρχει πρόβλημα;;;

Re: Που υπάρχει πρόβλημα;;;

Re: Που υπάρχει πρόβλημα;;;

Re: Που υπάρχει πρόβλημα;;;

Re: Που υπάρχει πρόβλημα;;;

Μέλη σε σύνδεση