Σύνολο

#1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n)

με

που είναι τέτοια ώστε για κάθε $x,y \in [m, n]$ να ισχύει $\displaystyle{\frac{5}{x}+\frac{7}{y} \in [m, n].}$

#2

Επαναφορά!

Orestisss · #3

Συμβολίζουμε $S=\frac{5}{x} +\frac{7}{y}$ . Το άθροισμα αυτό έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή, που επιτυγχάνεται για x=y=m

και

, αντιστοίχως. Δηλαδή είναι $S_{max}=\frac{5}{m}+\frac{7}{m}=\frac{12}{m}$ και $S_{min}=\frac{5}{n}+\frac{7}{n}=\frac{12}{n}$ . Επειδή όμως $S\in [m,n]$ , έπεται ότι $S_{max}=n$ , μαζί με $S_{min}=m$ απ’όπου mn=12

. Από αυτήν την σχέση και την ανισότητα m<n

συνεπάγεται ότι (m,n)=(1,12),(2,6),(3,4)

.

#4

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2025 9:10 pm
... Επειδή όμως $S\in [m,n]$ , έπεται ότι $S_{max}=n$ , μαζί με $S_{min}=m$ ...

Ορέστη, για ξαναδές τα αυτά.

Ναι μεν το τελικό αποτέλεσμα που βρίσκεις είναι σωστό, αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.

Orestisss · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 12:05 am

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2025 9:10 pm
... Επειδή όμως $S\in [m,n]$ , έπεται ότι $S_{max}=n$ , μαζί με $S_{min}=m$ ...
Ορέστη, για ξαναδές τα αυτά.

Ναι μεν το τελικό αποτέλεσμα που βρίσκεις είναι σωστό, αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.

Δεν καταλαβαίνω που βρίσκεται το λάθος μου.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 12:05 am

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2025 9:10 pm
... Επειδή όμως $S\in [m,n]$ , έπεται ότι $S_{max}=n$ , μαζί με $S_{min}=m$ ...
Ορέστη, για ξαναδές τα αυτά.

Ναι μεν το τελικό αποτέλεσμα που βρίσκεις είναι σωστό, αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.

Αν κάποιο

, όπως για παράδειγμα το $a = S_{max} = \dfrac {5}{m}+ \dfrac {7}{m}$ , βρίσκεται στο σύνολο [m,n]

τότε δεν μπορούμε να πούμε ότι a=n

. Αυτό που μπορούμε να πούμε είναι ότι $a\le n$ .

Orestisss · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 6:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 12:05 am

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2025 9:10 pm
... Επειδή όμως $S\in [m,n]$ , έπεται ότι $S_{max}=n$ , μαζί με $S_{min}=m$ ...
Ορέστη, για ξαναδές τα αυτά.

Ναι μεν το τελικό αποτέλεσμα που βρίσκεις είναι σωστό, αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.
Αν κάποιο , όπως για παράδειγμα το $a = S_{max} = \dfrac {5}{m}+ \dfrac {7}{m}$ , βρίσκεται στο σύνολο τότε δεν μπορούμε να πούμε ότι . Αυτό που μπορούμε να πούμε είναι ότι $a\le n$ .

Τότε θα πάρουμε $S_{max}\le n$ μαζί με $S_{min}\ge m$ , απ’όπου
$12\le mn$ και $12\ge mn$ . Συνεπάγεται mn=12

και οι λύσεις είναι οι παραπάνω.
Δυστυχώς εξακολουθώ να δυσκολεύομαι να κατανοήσω την παρατήρηση σας. Από την στιγμή που το

κυμαίνεται το διάστημα [m,n]

θα είναι από την μία $S\le n$ . Άρα το

είναι μέγιστο του

και η ισότητα πιάνεται για $S=\frac{12}{m}=S_{max}$ .

Orestisss · #8

Και μία άλλη σκέψη. Επειδή $x,y\in [m,n]$ θα είναι
$\frac{12}{n}\le \frac{5}{x}+\frac{7}{n}\le \frac{12}{m}$ , ισοδύναμα $\frac{5}{x}+\frac{7}{y}\in [\frac{12}{n},\frac{12}{m}]$ . Μπορούμε να πούμε ότι το διάστημα $[\frac{12}{n},\frac{12}{m}]$ είναι υπό διάστημα του [m,n]

. Συνεπώς διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις. Αν τα διαστήματα είναι ίσα, έχει καλώς. Εάν όχι, τότε μπορούμε να μπούμε ότι ένα άκρο τους ταυτίζεται:
$\frac{12}{n}=m$ ή $\frac{12}{m}=n$ . Τέλος, αν το διάστημα είναι γνήσιο υποδιάστημα θα πάρουμε
$m< \frac{12}{n}, \frac{12}{m}< n$ , που μας δίνει άτοπο.

#9

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 11:32 am
Από την στιγμή που το κυμαίνεται το διάστημα θα είναι από την μία $S\le n$ . Άρα το είναι μέγιστο του ...

Αυτό που κοκκίνισα είναι σοβαρό λογικό σφάλμα. Είναι τόσο αυτονόητο που δυστυχώς δεν μπορώ να το εξηγήσω παραπάνω.

Ίσως η ακόλουθη άσκηση σε διευκολύνει να καταλάβεις που είναι το σφάλμα.

Άσκηση: Βρες όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων m, n

με

τέτοια ώστε $S= \dfrac {\cos (m+n)}{100} \in [m,n]$ .

Τι θα έλεγες αν το πρώτο βήμα στον συλλογισμό μου ήταν: Αφού το $S_{max} \in [m,n]$ θα είναι για κάποια m_0,n_0

$S=\dfrac {\cos (m_0+n_0)}{100}= S_{max} =n$ . Δηλαδή $\cos (m_0+n_0)}{100}=n$ , και άρα για κάποιο

είναι $\cos k =100n \ge 100$

Orestisss · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 12:01 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 11:32 am
Από την στιγμή που το κυμαίνεται το διάστημα θα είναι από την μία $S\le n$ . Άρα το είναι μέγιστο του ...
Αυτό που κοκκίνισα είναι σοβαρό λογικό σφάλμα. Είναι τόσο αυτονόητο που δυστυχώς δεν μπορώ να το εξηγήσω παραπάνω.

Ίσως η ακόλουθη άσκηση σε διευκολύνει να καταλάβεις που είναι το σφάλμα.

Άσκηση: Βρες όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων με τέτοια ώστε $S= \dfrac {\cos (m+n)}{100} \in [m,n]$ .

Τι θα έλεγες αν το πρώτο βήμα στον συλλογισμό μου ήταν: Αφού το $S_{max} \in [m,n]$ θα είναι για κάποια
$S=\dfrac {\cos (m_0+n_0)}{100}= S_{max} =n$ . Δηλαδή $\cos (m_0+n_0)}{100}=n$ , και άρα για κάποιο είναι $\cos k =100n \ge 100$

$cosk\ge 100$ , άτοπο.

#11

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 12:53 pm
$cosk\ge 100$ , άτοπο.

Ωραία. Ελπίζω τώρα να αντιλήφθηκες που ήταν το σφάλμα στον συλλογισμό σου. Με λίγα λόγια, γενικά, ισχύει $[S_{min} , \, S_{max}]\subseteq [m,\, n]$ , ισοδύναμα $m\le S_{min} \le S_{max} \le n$ , αλλά θα μπορούσε η μία ή η άλλη ή και οι δύο ανισότητες να είναι γνήσιες.

Orestisss · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 5:04 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 12:53 pm
$cosk\ge 100$ , άτοπο.
Ωραία. Ελπίζω τώρα να αντιλήφθηκες που ήταν το σφάλμα στον συλλογισμό σου. Με λίγα λόγια, γενικά, ισχύει $[S_{min} , \, S_{max}]\subseteq [m,\, n]$ , ισοδύναμα $m\le S_{min} \le S_{max} \le n$ , αλλά θα μπορούσε η μία ή η άλλη ή και οι δύο ανισότητες να είναι γνήσιες.

Νομίζω το αντιλαμβάνομαι. Με άλλα λόγια, αν το

το θεωρούσαμε ως συνάρτηση, το μέγιστο $S_{max}$ ΔΕΝ ταυτίζεται απαραιτήτως με την θέση μέγιστου, το

. Όμοια και για το $S_{min}$ και

.
Ευχαριστώ για την επεξήγηση σας. Ευελπιστώ η δεύτερή μου λύση να μην είναι εσφαλμένη.

#13

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 5:56 pm
Ευελπιστώ η δεύτερή μου λύση να μην είναι εσφαλμένη.

Βεβαίως, η λύση είναι τώρα σωστή.

Το κύριο βήμα που την κάνει σωστή, και αυτό ήθελα μα επισημάνω, είναι το
.

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 11:32 am
... Τότε θα πάρουμε $S_{max}\le n$ μαζί με $S_{min}\ge m$ , απ’όπου
$12\le mn$ και $12\ge mn$ . Συνεπάγεται και οι λύσεις είναι οι παραπάνω...

Orestisss · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 7:52 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 5:56 pm
Ευελπιστώ η δεύτερή μου λύση να μην είναι εσφαλμένη.
Βεβαίως, η λύση είναι τώρα σωστή.

Το κύριο βήμα που την κάνει σωστή, και αυτό ήθελα μα επισημάνω, είναι το
.

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 11:32 am
... Τότε θα πάρουμε $S_{max}\le n$ μαζί με $S_{min}\ge m$ , απ’όπου
$12\le mn$ και $12\ge mn$ . Συνεπάγεται και οι λύσεις είναι οι παραπάνω...

Έχω γράψει και μια δεύτερη λύση στο ποστ #8. Παρ’όλα αυτά, σας ευχαριστώ ξανά για τις εξηγήσεις.

#15

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2025 8:25 pm
Έχω γράψει και μια δεύτερη λύση στο ποστ #8. Παρ’όλα αυτά, σας ευχαριστώ ξανά για τις εξηγήσεις.

H λύση στο #8 είναι και αυτή σωστή. Στην πραγματικότητα είναι παραλλαγή της λύσης στο #7 με μόνη διαφορά ότι σπάει την περίπτωση $S \le n$ (και όμοια την $S \ge m$ ) σε δύο υποπεριπτώσεις: την S=n

και την

. Κατά τα άλλα δεν διαφέρει εκτός από το ότι χάνει σε κομψότητα γιατί πλατειάζει.

Σύνολο

Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Μέλη σε σύνδεση