Μία ρίζα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η ρίζα $\displaystyle{\sqrt[16]{3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 1}}$ .

#2

Το υπόρριζο είναι το

$\displaystyle{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)+1}$ , για $\displaystyle{x=4}$ , οπότε

$\displaystyle{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)+1=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)+1=(x^4-1)(x^4+1)+1=}$

$\displaystyle{=x^8-1+1=x^8=4^8=2^{16}.}$

Άρα ο αριθμός ισούται με $\displaystyle{2}$ .

Nikitas K. · #3

$A:=\sqrt[16]{3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 1}$
$\Leftrightarrow A^{16}=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 1$
$\Leftrightarrow A^{16}-1=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow (A^8-1)(A^8+1)=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow (A^4-1)(A^4+1)(A^8+1)=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow (A^2-1)(A^2+1)(A^4+1)(A^8+1)=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$

Εικάζοντας ότι $A\in\mathbb{N^*}$ , τότε
$A^2-1=3~\wedge~A^2+1=5~\wedge~A^4+1=17~\wedge A^8+1=257$ διότι οι αριθμοί 3,5,17,257

είναι πρώτοι αριθμοί.
$\Leftrightarrow A=2 ~\wedge ~ A\neq-2$ διότι A>0

.

Tolaso J Kos · #4

Nikitas K. έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 16, 2024 3:28 am

Εικάζοντας ότι $A\in\mathbb{N^*}$ , ...

Γιατί να το εικάσουμε; Ποιος μας εγγυάται ότι όντως η ρίζα είναι φυσικός αριθμός;

Nikitas K. · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 16, 2024 10:26 am
Γιατί να το εικάσουμε;

Επειδή μας επιτρέπει να βρούμε γρήγορα πιθανή ακέραια τιμή της παράστασης

δίχως απόδειξη.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 16, 2024 10:26 am
Ποιος μας εγγυάται ότι όντως η ρίζα είναι φυσικός αριθμός;

Με την πιθανή τιμή

της παράστασης

από την εικασία, επιδιώκουμε να κατασκευάσουμε την παράσταση

.

Ισχύει ότι:
2^2 - 1 = 3

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη λαμβάνουμε ότι:

$(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow (2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow (2^8-1)(2^8+1)=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow 2^{16}-1=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257$
$\Leftrightarrow 2^{16}=3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 1$
$\Leftrightarrow 2=\sqrt[16]{3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 1}$
$\Leftrightarrow 2=A$
$\Leftrightarrow A=2$

Άρα ο αριθμός

είναι η μοναδική τιμή της παράστασης

.

Επομένως, τώρα μπορούμε να εγγυηθούμε ότι $A\in\mathbb{N^*}$ .

Μία ρίζα

Μία ρίζα

Re: Μία ρίζα

Re: Μία ρίζα

Re: Μία ρίζα

Re: Μία ρίζα

Μέλη σε σύνδεση