Απόδειξη

User#0000 · #1

Έστω ο αριθμός a,a...ab

έχει

ψηφία με

και $a\neq b$
Να αποδείξετε ότι:
$a,a...ab=\frac{(10^{n}-10)a+9b}{9*10^{n-1}}$ , $\forall a,b\in \left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$

Μάρκος Βασίλης · #2

Έχουμε τη δεκαδική αναπαράσταση του παραπάνω αριθμού $x=a.a\ldots ab$ ως εξής (χρησιμοποιώ «.» αντί για «,»):
$\displaystyle x=a+\sum_{k=1}^{n-2}\frac{a}{10^k}+\frac{b}{10^{n-1}}=a+\frac{a}{10}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{10^{k-1}}+\frac{b}{10^{n-1}}=a+\frac{a} {10}\sum_{k=0}^{n-3}\frac{1}{10^k}+\frac{b}{10^{n-1}},$
όπου στην τελευταία ισότητα απλώς άλλαξε ο μετρητής. Τώρα, ως άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου, έχουμε:
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-3}\frac{1}{10^k}=\frac{1-10^{2-n}}{1-1/10}=\frac{10}{9}\cdot\frac{10^n-10^2}{10^n}.$
Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση έχουμε:
$\displaystyle x=a+\frac{a}{10}\cdot\frac{10}{9}\cdot\frac{10^n-10^2}{10^n}+\frac{b}{10^{n-1}}=\frac{9\cdot10^na+10^na-10^2a+90b}{9\cdot10^n}=10\cdot\frac{10^na-10a+9b}{9\cdot10^n},$
που ήταν το ζητούμενο.

User#0000 · #3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 08, 2019 2:02 pm
Έχουμε τη δεκαδική αναπαράσταση του παραπάνω αριθμού $x=a.a\ldots ab$ ως εξής (χρησιμοποιώ «.» αντί για «,»):
$\displaystyle x=a+\sum_{k=1}^{n-2}\frac{a}{10^k}+\frac{b}{10^{n-1}}=a+\frac{a}{10}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{10^{k-1}}+\frac{b}{10^{n-1}}=a+\frac{a} {10}\sum_{k=0}^{n-3}\frac{1}{10^k}+\frac{b}{10^{n-1}},$
όπου στην τελευταία ισότητα απλώς άλλαξε ο μετρητής. Τώρα, ως άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου, έχουμε:
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-3}\frac{1}{10^k}=\frac{1-10^{2-n}}{1-1/10}=\frac{10}{9}\cdot\frac{10^n-10^2}{10^n}.$
Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση έχουμε:
$\displaystyle x=a+\frac{a}{10}\cdot\frac{10}{9}\cdot\frac{10^n-10^2}{10^n}+\frac{b}{10^{n-1}}=\frac{9\cdot10^na+10^na-10^2a+90b}{9\cdot10^n}=10\cdot\frac{10^na-10a+9b}{9\cdot10^n},$
που ήταν το ζητούμενο.

Με γεωμετρική πρόοδο και εγώ το απέδειξα.

#4

Ας αποφύγουμε τη γεωμετρική πρόοδο:

Το $99\cdots 9$ με

ψηφία ισούται με 10^n-1

.

Άρα το $11\cdots 1$ με

ψηφία ισούται με $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}.$

Άρα το $aa\cdots a$ με

ψηφία ισούται με $\displaystyle a\frac{10^n-1}{9}.$

Άρα το $aa\cdots ab$ με

ψηφία ισούται με $\displaystyle a\frac{10^n-1}{9} + b-a = \frac{10^n a - 10a + 9b}{9}.$

Αν διαιρέσουμε με 10^n

θα πάνε όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή. Άρα για να πάρουμε το $a.a\cdots ab$ πρέπει μετά να πολλαπλασιάσουμε και με

. Δηλαδή όντως

$\displaystyle a.a\cdots ab = 10 \cdot \frac{10^n a - 10a + 9b}{9 \cdot 10^n}$

Μάρκος Βασίλης · #5

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 2:43 pm
Ας αποφύγουμε τη γεωμετρική πρόοδο:

Το $99\cdots 9$ με ψηφία ισούται με .

Άρα το $11\cdots 1$ με ψηφία ισούται με $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}.$

Άρα το $aa\cdots a$ με ψηφία ισούται με $\displaystyle a\frac{10^n-1}{9}.$

Άρα το $aa\cdots ab$ με ψηφία ισούται με $\displaystyle a\frac{10^n-1}{9} + b-a = \frac{10^n a - 10a + 9b}{9}.$

Αν διαιρέσουμε με θα πάνε όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή. Άρα για να πάρουμε το $a.a\cdots ab$ πρέπει μετά να πολλαπλασιάσουμε και με . Δηλαδή όντως

$\displaystyle a.a\cdots ab = 10 \cdot \frac{10^n a - 10a + 9b}{9 \cdot 10^n}$

Πράγματι, πολύ κομψή απάντηση!

Απόδειξη

Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση