Ανισότητα

christodoulou · #1

Να αποδειχθεί ότι : $\alpha ^{4}+\beta ^{4}\geq \alpha ^{3}\beta +\beta ^{3}\alpha$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\alpha$ και $\beta$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

Ίσως είναι καλό να την αφήσουμε για τα παιδιά γιατί είναι προσιτή και διδακτική.

Μ.

manosk97 · #3

Εχω $\displaystyle{\begin{gathered} \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3} \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {a^3}\left( {a - b} \right) + {b^3}\left( {b - a} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {a^3}\left( {a - b} \right) - {b^3}\left( {a - b} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{a^3} - {b^3}} \right)\left( {a - b} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} }$

Ο $\displaystyle{{\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0}$ Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\displaystyle{\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \geqslant 0}$
Εχουμε

$\displaystyle{\begin{gathered} {a^2} + ab + {b^2} \geqslant 0 \hfill \\ {a^2} + 2a\frac{1}{2}b + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} }$
Πράγμα που ισχύει αφού και οι δυο είναι θετικοί άρα ισχύει και η δοσμένη ανισότητα

#4

Μάνο πολύ ωραία (και καλώς ήρθες στο

), θα ήθελα όμως να επισημάνω το εξής: ήδη από την $(a^3-b^3)(a-b)\geq 0$ έχεις απόδειξη στα χέρια σου -- γιατί;

[Χμμμ, τώρα που το ξανασκέφτομαι ... στην Α' Λυκείου μάλλον δεν γνωρίζουμε άλλη απόδειξη της $a\geq b\Leftrightarrow a^3\geq b^3$ από αυτήν που έδωσες (μέσα στην απόδειξη σου), οπότε η απόδειξη σου είναι όντως η συντομότερη δυνατή ... και το σχόλιο μου είναι κάπως ατυχές (αλλά το αφήνω για διδακτικούς σκοπούς)...]

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

gbaloglou έγραψε:στην Α' Λυκείου μάλλον δεν γνωρίζουμε άλλη απόδειξη της $a\geq b\Leftrightarrow a^3\geq b^3$ από αυτήν που έδωσες (μέσα στην απόδειξη σου),

Μία προσπάθεια, εντός Α' Λυκείου:

α) Αν $a\ge 0, b\ge 0$ με $a\geq b$ έχουμε $a^3= aaa \ge aab \ge abb \ge bbb=b^3$ .

β) Αν $a\ge 0 \ge b$ τότε $a^3\ge 0\ge b^3$ (περιττή δύναμη θετικού είναι θετικός κλπ).

γ) Αν $0\ge a \ge b$ τότε $b\ge -a \ge 0$ . Άρα, όπως δείξαμε στο α), $\displaystyle{(-b)^3\ge (-a)^3}$ οπότε $\displaystyle{-b^3\ge -a^3}$ που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.

Το ίδιο επιχείρημα για όλες τις περιττές δυνάμεις στη θέση του

.

Φιλικά,

Μιχάλης

manosk97 · #6

Το ίσον ισχύει για α=b ή για α,b=0

#7

manosk97 έγραψε:Το ίσον ισχύει για α=b ή για α,b=0

Οι ανισότητες λειτουργούν όπως και να είναι. Π.χ. αν ξέρεις c>d

, έπεται $c\ge d$ .

Στη παραπάνω απόδειξη, δεν χρειάζεται να διαχωρίσεις περιπτώσεις ισότητας ή μη. Τα βήματα ισχύουν ούτως ή άλλως.

Μ.

manosk97 · #8

Στην συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να το αναφέρουμε αφού ζητείται από την εκφώνηση

#9

manosk97 έγραψε:Στην συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να το αναφέρουμε αφού ζητείται από την εκφώνηση

Όχι δεν πρέπει να το αναφέρουμε. Η άσκηση ζητά να αποδείξουμε $a\ge b \Rightarrow a^3\ge b^3$ , και η απόδειξη που δίνω αυτό ακριβώς κάνει.
Πού βλέπεις εσύ πρόβλημα; Δείξε μου παρακαλώ το συγκεκριμένο σημείο, και βλέπουμε.

Μ

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση