Είναι άπειροι;

J. Robert Oppenheimer · #1

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη σχετικά πρώτων θετικών ακεραίων αριθμών (a, b)

με

, τέτοια ώστε το a + b

να διαιρεί το a^b + b^a

.

#2

J. Robert Oppenheimer έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2023 3:05 pm
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη σχετικά πρώτων θετικών ακεραίων αριθμών , τέτοια ώστε το να διαιρεί το .

Κάτι άλλο θα εννοείς γιατί αν

οποιοσδήποτε και αν b=1

, τότε

που διαιρεί τον a^b+b^a= a+1

.

(Toυλάχιστον αυτό βλέπω στο αεροδρόμιο Θεσσαλονίκης που βρίσκομαι, μετά το πρώτο σκέλος κουραστικού ταξιδιού.)

J. Robert Oppenheimer · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2023 4:20 pm

J. Robert Oppenheimer έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2023 3:05 pm
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη σχετικά πρώτων θετικών ακεραίων αριθμών , τέτοια ώστε το να διαιρεί το .
Κάτι άλλο θα εννοείς γιατί αν οποιοσδήποτε και αν , τότε που διαιρεί τον .

(Toυλάχιστον αυτό βλέπω στο αεροδρόμιο Θεσσαλονίκης που βρίσκομαι, μετά το πρώτο σκέλος κουραστικού ταξιδιού.)

Πράγματι, ξέχασα την συνθήκη a, b > 1

. Ευχαριστώ για την επισήμανση!

#4

Έστω

πρώτος της μορφής 8k+3

. Υπάρχουν άπειροι τέτοιο πρώτοι.

Παίρνουμε a = 2k+1

και

. Αρκεί να δείξουμε ότι $a^b + b^a \equiv 0 \bmod p$ . Έχουμε

$\displaystyle a^b + b^a \equiv (2k+1)^{6k+2} + (-(2k+1))^{2k+1} \equiv (2k+1)^{2k+1}((2k+1)^{4k+1}-1) \bmod p$

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $x = (2k+1)^{4k+1} \equiv 1 \bmod p$ . Είναι

$\displaystyle 4^{4k+1}x \equiv (8k+4)^{4k+1} \equiv 1 \bmod p$

Αλλά $4^{4k+1} = 2^{p-1} \equiv 1 \bmod p$ .

Άρα πράγματι $x \equiv 1 \bmod p$ και $p \mid a^b + b^a$ .

Είναι άπειροι;

Είναι άπειροι;

Re: Είναι άπειροι;

Re: Είναι άπειροι;

Re: Είναι άπειροι;

Μέλη σε σύνδεση