Περίεργη κατασκευή!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1<a_2<\ldots<a_{2023}$ τέτοιοι, ώστε

$\gcd(a_1,a_2)>\gcd(a_2,a_3)>\ldots>\gcd(a_{2022},a_{2023})>\gcd(a_{2023},a_1)$ .

Manolis Petrakis · #2

Επιλέγουμε 2023

πρώτους μεγαλύτρους του

με $2p_i<p_{i+1}$ και $a_i=2^{2024-i}p_i$ , για κάθε i=1,2,...2021

, $a_{2022}=3\cdot 2^2 \cdot p_{2022},a_{2023}=3^2\cdot p_{2023}$
Τότε, πράγματι $a_i<a_{i+1}\Leftrightarrow 2^{2024-i}p_i<2^{2023-i}p_{i+1}\Leftrightarrow 2p_i<p_{i+1},$ και με τον ίδιο τρόπο $a_{2021}<a_{2022}<a_{2023}$ το οποίο ισχύει λόγω της αρχικής επιλογής που κάναμε.
Ακόμη $gcd(a_i,a_{i+1})=gcd(2^{2024-i}p_i,2^{2023-i}p_{i+1})=2^{2023-i}>2^{2022-i}=gcd(a_{i+1},a_{i+2})$ και $gcd(a_{2021},a_{2022})=4>3=gcd(a_{2022},a_{2023})>1=gcd(a_{2023},a_1).$
Επομένως η κατασκευή είναι εφικτή.

*Έγινε μία μικρή διόρθωση μετά από παρέμβαση του κυρίου Λάμπρου τον οποίο και ευχαριστώ.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 27, 2023 10:00 pm
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1<a_2<\ldots<a_{2023}$ τέτοιοι, ώστε

$\gcd(a_1,a_2)>\gcd(a_2,a_3)>\ldots>\gcd(a_{2022},a_{2023})>\gcd(a_{2023},a_1)$ .

Για τυπογραφική ευκολία θα το κάνω για

αριθμούς αντί 2023

, αλλά γενικεύεται απλά.

Θα χρειαστώ πρώτους αριθμούς ο καθένας από τους οποίους είναι μεγαλύτερος από το διπλάσιο του προηγούμενου. Π.χ. μου κάνουν οι 3<7< 17< 37 < 79 < 163 < 331 < 667

.

Οι

αύξοντες αριθμοί είναι οι παρακάτω:

$2^{100} < 2^{99} \cdot 3 < 2^{98} \cdot 7 < 2^{97} \cdot 17 < 2^{96} \cdot 37 < 2^{95} \cdot 79 < 2^{94} \cdot 163 < 2^{93} \cdot 331 < 2^{92} \cdot 667 < 3^{92} \cdot 667$

Οι διαδοχικοί μέγιστοι κοινοί διαιρέτες (όπου ο τελευταίος ζευγαρώνεται με τον πρώτο) είναι οι

$2^{99} > 2^{98} >2^{97} > 2^{96} > 2^{95} > 2^{94} > 2^{93} > 2^{92} > 667 > 1$

Edit: Η δημοσίευση του Μανώλη έγινε όσο έγραφα. Η μέθοδός μου είναι ουσιαστικά η ίδια με του Μανώλη (αλλάζει ελάχιστα μόνο στον τελευταίο όρο). Το αφήνω για τον κόπο.

Περίεργη κατασκευή!

Περίεργη κατασκευή!

Re: Περίεργη κατασκευή!

Re: Περίεργη κατασκευή!

Μέλη σε σύνδεση