AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα τέθηκε στον τρίτο γύρο της 27ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας την περίοδο 1975-1976.
Πρόκειται για το τρίτο θέμα της πρώτης μέρας.

Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών
είναι μήκη πλευρών τριγώνου.

Al.Koutsouridis · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 8:18 pm
Το παρακάτω θέμα τέθηκε στον τρίτο γύρο της 27ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας την περίοδο 1975-1976.
Πρόκειται για το τρίτο θέμα της πρώτης μέρας.

Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών
είναι μήκη πλευρών τριγώνου.

Χρόνια Πολλά για την εθνική μας εορτή! Τιμή και δόξα στους ήρωες του έθνους!

Έστω ABCD

ένα τυχόν τετράεδρο. Προβάλουμε την ακμή

του τετράεδρου ABCD

σε επίπεδο $\pi$ παράλληλο προς την ακμή

που περιέχει την ακμή

και έστω $B_{1}$ και $D_{1}$ οι προβολές των σημείων B,D

αντίστοιχα, στο επίπεδο $\pi$ .

Για τα τέσσερα σημεία $A, B_{1}, C, D_{1}$ του επιπέδου $\pi$ ισχύει το θεώρημα (ανισότητα) Πτολεμαίου

$AC \cdot B_{1}D_{1} \leq AB_{1} \cdot CD_{1} + B_{1}C \cdot AD_{1}$ .

Λόγω των ορθογώνιων προβολών ισχύου οι ανισώσεις $AB_{1} < AB$ , $CD_{1} < CD$ , $CB_{1} < CB$ , $AD_{1} < AD$ . Οπότε ισχύει η ανίσωση

$AC \cdot BD < AB \cdot CD + BC \cdot AD$ . (1)

Ομοίως και για τα άλλα ζεύγη απέναντι ακμών. Δηλαδή για κάθε γίνομενο απέναντι ακμών ισχύει η τριγωνική ανισότητα. Άρα υπάρχει τρίγωνο με πλευρές αυτά τα γινόμενα.

Να σημειώσουμε, ότι η ανίσωση (1) αναφέρεται και ως ανίσωση Πτολεμαίου για το στρεβλό τετράπλευρο ADBC

.

: ptolemeos_gia_streula_tetrapleura.png (200.42 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές

#3

Να σημειώσω απλώς ότι η ιδιότητα αυτή των τετραέδρων, υπάρχει ως θεώρημα στην παράγραφο 235, σελίδα 119 του

βιβλίου Αριστείδου. Φ, Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Β Στερεομετρία (1973). Η λύση που δίνει είναι διαφορετική

από αυτή του Αλέξανδρου και βασίζεται στις ανισοτικές σχέσεις στα τρίγωνα.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τη λύση που έδωσε, αναδεικνύοντας ταυτόχρονα το Θεώρημα του Πτολεμαίου για τα τετράεδρα. Ευχαριστώ επίσης το Γιώργο Βισβίκη για την αναφορά του θέματος στο σύγγραμμα του Πάλλα. Τελικά τη δεκαετία του 1970 υπήρχαν πολύ υψηλής στάθμης βιβλία στη Γεωμετρία στη γλώσσα μας...
Αληθινοί θησαυροί...

S.E.Louridas · #5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 8:18 pm
Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών είναι μήκη πλευρών τριγώνου.

Μετά από την εκπληκτική λύση του Αλέξανδρου ας δούμε και την άποψη (με το χειροποίητο ως συνήθως σχήμα):

Στο σχήμα που ακολουθεί το τρίγωνο MDC

είναι ίσο με το τρίγωνο ACD

ως εικόνα της στροφής του περί την

που ανήκει στο επίπεδο του

τριγώνου BCD.

Έστω

η τομή των ευθειών CD, MB,

οπότε από τη προφανή ισότητα των τριγώνων AND, MND

προκύπτει

Προφανώς έχουμε $AB < NB + NA \Rightarrow AB < NB + NM \Rightarrow AB < MB.$

Όμως από το Θεώρημα του Πτολεμαίου για την τετράδα των σημείων B, C, M, D

παίρνουμε $CD \cdot BM \leqslant BD \cdot CM + BC \cdot DM \Rightarrow$

$CD \cdot AB < BD \cdot CA + BC \cdot DA.$

Επειδή έχουμε την κυκλική ισχύ, προκύπτει το ζητούμενο.

: STER.png (70.51 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

Re: AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

Re: AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

Re: AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

Re: AΠΟ ΤΗ ΧΩΡΑ ΤΗΣ ΜΑRIΕ CURIE

Μέλη σε σύνδεση